Udostępnij za pośrednictwem

Pomiary z pojedynczym kubitem i wieloma kubitami Pauli

  • Artykuł

Podczas pracy z usługą Q#okaże się, że pomiary Pauli są typowym typem pomiaru. Pomiary Pauli uogólniają pomiary podstaw obliczeniowych w celu uwzględnienia pomiarów w innych bazach i parzystości między różnymi kubitami. W takich przypadkach często omówiono pomiar operatora Pauli, który jest operatorem, takim jak X,Y,Z$ lub $Z\otimes, X\otimes X, X\otimes Y$ itd.$ Aby zapoznać się z podstawami pomiaru kwantowego, zobacz Kubit i Wiele kubitów.

Omawianie pomiarów pod względem operatorów Pauli jest powszechne w podpole korekty błędów kwantowych.
Q# przewodnik jest zgodny z podobną konwencją; w tym artykule wyjaśniono ten alternatywny widok pomiarów.

Napiwek

W Q#systemie operatory z wieloma kubitami Pauli są zwykle reprezentowane przez tablice typu Pauli[]. Na przykład aby reprezentować $X \otimes Z \otimes Y$, można użyć tablicy [PauliX, PauliZ, PauliY].

Przed zagłębienie się w szczegółowe informacje na temat sposobu myślenia o pomiarze Pauli warto zastanowić się nad tym, co pomiar pojedynczego kubitu wewnątrz komputera kwantowego robi ze stanem kwantowym. $Wyobraź sobie stan kwantowy n-kubitu$, a następnie pomiar jednego kubitu natychmiast wyklucza połowę $możliwości 2^n$, w których może znajdować się stan. Innymi słowy, pomiar projektuje stan kwantowy na jedną z dwóch pół-spacji. Można uogólnić sposób, w jaki myślisz o pomiarze, aby odzwierciedlić tę intuicję.

Aby zwięzłie zidentyfikować te przestrzenie podrzędne, należy użyć języka do ich opisywania. Jednym ze sposobów opisania dwóch przestrzeni podrzędnych jest określenie ich za pośrednictwem macierzy, która ma tylko dwie unikatowe wartości eigenów, podjęte zgodnie z konwencją jako $\pm 1$. Aby uzyskać prosty przykład opisywania podprzestrzeń w ten sposób, rozważ użycie Z$$:

$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 0 \\ & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Czytając elementy ukośne macierzy Pauli-Z, widać, że $Z$ ma dwa wektory eigenowe $\ket{0}$ i $\ket{1}$, z odpowiednimi wartościami eigenvalues $\pm 1$.$$ W związku z tym, jeśli pomiar kubitu powoduje (odpowiadający stanowi $\ket{0}$), wiadomo, że stan kubitu to $+1$ eigenstate $operatora Z$.Zero Podobnie, jeśli wynik to One, wiadomo, że stan kubitu to $-1$ eigenstate Z$$. Ten proces jest określany w języku pomiarów Pauli jako &cudzysłowie; pomiar Pauli $Z,quot$&; i jest całkowicie odpowiednikiem wykonywania pomiaru podstawy obliczeniowej.

Każda $macierz 2 2$\times, która jest jednostkową transformacją $Z$, spełnia również te kryteria. Oznacza to, że można również użyć macierzy $A=U^\dagger Z U$, gdzie $U$ jest dowolną inną macierzą jednostkową, aby nadać macierz, która definiuje dwa wyniki pomiaru w jego $\pm 1$ eigenvectors. Notacja pomiarów Pauli odwołuje się do tej jednoczesnej równoważności, identyfikując $pomiary X,Y,Z$ jako równoważne pomiary, które można zrobić, aby uzyskać informacje z kubitu. Te pomiary są podane tutaj dla wygody.

Pomiar Pauli Przekształcanie jednostkowe
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

Oznacza to, że przy użyciu tego języka, &cudzysłów; cudzysłów miary $Y$&; jest odpowiednikiem zastosowania $modułu HS^\dagger$ , a następnie pomiaru w podstawie obliczeniowej, gdzie S jest wewnętrzną operacją kwantową nazywaną czasem cudzysłów &; bramka fazowa,& cudzysłów; i może być symulowana przy użyciu macierzy unitarnej

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 0 \\ & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$

Jest również odpowiednikiem zastosowania $hs^\dagger$ do wektora stanu kwantowego, a następnie pomiaru $Z$, tak aby następująca operacja była równoważna :Measure([PauliY], [q])

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        set result = M(q);
    }
    return result;
}

Prawidłowy stan można następnie znaleźć, przekształcając z powrotem do podstawy obliczeniowej, co oznacza zastosowanie $$ sh do wektora stanu kwantowego. W fragmencie kodu transformacja z powrotem do podstawy obliczeniowej jest obsługiwana automatycznie przy użyciu within … apply bloku.

W Q#pliku wynik--- jest to, klasyczne informacje wyodrębnione z interakcji ze stanem---is podane przy użyciu Result wartości $j \in \{\texttt{Zero}, \texttt{One}\}$ wskazujące, czy wynik znajduje się w $(-1)^j$ eigenspace operatora Pauli mierzony.

Pomiary z wieloma kubitami

Pomiary operatorów z wieloma kubitami Pauli są definiowane podobnie, jak pokazano na poniższej podstawie:

$$Z Z\otimes =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0& 0 0\\& amp;-1& 0& 0 0\\& amp; 0&-1& 0 0\\& amp; 0& 0& 1\end{bmatrix}. $$

W ten sposób produkty tensor dwóch operatorów Pauli-Z$$ tworzą macierz składającą się z dwóch przestrzeni składających $się z +1$ i $-1$ eigenvalues. Podobnie jak w przypadku pojedynczego kubitu, obie stanowią pół spacji, co oznacza, że połowa dostępnego obszaru wektorowego należy do $przestrzeni +1$ eigenspace i pozostałej połowy do $-1$ obszaru eigenspace. Ogólnie rzecz biorąc, łatwo jest zobaczyć z definicji produktu tensor, że każdy produkt tensor operatorów Pauli-Z$$ i tożsamość również przestrzega tego. Na przykład:

$$\begin{align}Z \otimes\begin{bmatrix}{1}\mathbf{=1 & 0 &&; 0 amp; 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ amp; &0 & 0 amp; -1 & 0 \\ & 0 & &-1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

Tak jak wcześniej, każda unitaryczna transformacja takich macierzy opisuje również dwie pół spacje oznaczone $\pm 1$ eigenvalues. Na przykład X X H H\otimes(Z\otimes)H\otimes$ H z tożsamości Z $=HXH$.=\otimes $ Podobnie jak w przypadku jednego kubitu, wszystkie dwa kubity Pauli-pomiary mogą być zapisywane jako $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ dla $4 4\times$ unitary macierzy $U$. Przekształcenia są wyliczane w poniższej tabeli.

Uwaga

W tej tabeli $\operatorname{}$ zamiana służy do wskazywania macierzy $$\begin{align}\operatorname{SWAP}& =\left(\begin{macierz} 1 & 0 & &0 amp; 0 &\\ amp; &0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ & 1 && 0 &&\\ amp; 0 amp; &0 amp; 0 & 1 \end{macierz}\right) \end{align}$$ używane do symulowania operacji SWAPwewnętrznej .

Pomiar Pauli Przekształcanie jednostkowe
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes \mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{ZAMIANA}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{ZAMIANA}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{ZAMIANA}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_({10}HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_({10}H H\otimes )$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_({10}HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_({10}H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_({10}HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

CNOT W tym miejscu operacja jest wyświetlana z następującej przyczyny. Każda miara Pauli, która nie zawiera $\mathbf{1}$ macierzy, jest równoważna jednostce z $Z$\otimes przez wcześniejsze rozumowanie. Wartości eigenów Z zależą tylko od parzystości kubitów składających się na każdy wektor obliczeniowy, a kontrolowane operacje $\otimes$ nie służą do obliczania tej parzystości i przechowywania jej w pierwszym bitzie. Następnie po zmierzeniu pierwszego bitu można odzyskać tożsamość wynikowej pół spacji, która jest równoważna pomiarowi operatora Pauli.

Ponadto, chociaż może być kuszące założenie, że pomiar $Z\otimes Z$ jest taki sam jak sekwencyjnie pomiaru $Z\otimes\mathbb{{1}$ , a następnie $\mathbb{1}\otimes Z$, to założenie byłoby fałszywe. Przyczyną jest to, że pomiar Z Z projektuje $stan kwantowy do $stanu +1$ lub $-1$ eigenstate tych operatorów.$\otimes Pomiar $Z\otimes\mathbb{1}$, a następnie $\mathbb{1}\otimes Z$ projektuje wektor stanu kwantowego najpierw na pół odstępu $od Z\mathbb{{1}$\otimes, a następnie na pół odstępu{1}$\mathbb{\otimes od Z.$ Ponieważ istnieją cztery wektory obliczeniowe, wykonywanie obu pomiarów zmniejsza stan do czwartej przestrzeni, a tym samym zmniejsza go do pojedynczego wektora podstawy obliczeniowej.

Korelacje między kubitami

Innym sposobem mierzenia produktów tensorowych macierzy Pauli, takich jak $X\otimes X$ lub $Z\otimes Z$ , jest to, że te pomiary umożliwiają przyjrzenie się informacjom przechowywanym w korelacjach między dwoma kubitami. Pomiar $X\otimes 1$ umożliwia przyjrzenie się informacjom przechowywanym lokalnie w pierwszym kubitie. Chociaż oba typy pomiarów są równie cenne w obliczeniach kwantowych, były oświetla moc obliczeń kwantowych. Wynika to z tego, że w obliczeniach kwantowych często informacje, które chcesz nauczyć, nie są przechowywane w żadnym kubitie, ale raczej przechowywane nie lokalnie we wszystkich kubitach jednocześnie, a w związku z tym tylko patrząc na nie za pomocą wspólnej miary (np. $Z Z\otimes$) te informacje stają się manifestem.

Można również zmierzyć dowolne operatory Pauli, takie jak $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ . Wszystkie takie produkty tensorowe operatorów Pauli mają tylko dwa eigenvalues $\pm 1$ , a obie przestrzenie eigenspace stanowią pół-spacje całej przestrzeni wektorowej. W związku z tym zbiegają się one z określonymi wcześniej wymaganiami.

W Q#pliku takie pomiary zwracają $wartość j$ , jeśli pomiar daje wynik w przestrzeni eigenspace znaku $(-1)^j$. Posiadanie pomiarów Pauli jako wbudowanej funkcji jest Q# pomocne, ponieważ pomiar takich operatorów wymaga długich łańcuchów kontrolowanych bram NOT i przekształceń bazowych w celu opisania ukośnej $bramy U$ potrzebnej do wyrażenia operacji jako produktu tensor Z $$ i $1$. Dzięki możliwości określenia, że chcesz wykonać jedną z tych wstępnie zdefiniowanych miar, nie musisz martwić się o sposób przekształcania podstawy, tak aby pomiar podstaw obliczeniowych dostarczał niezbędne informacje. Q# automatycznie obsługuje wszystkie niezbędne przekształcenia podstaw.

Twierdzenie bez klonowania

Informacje kwantowe są zaawansowane. Umożliwia wykonywanie niesamowitych rzeczy, takich jak liczby czynników wykładniczo szybciej niż najbardziej znane algorytmy klasyczne, lub wydajnie symulowane skorelowane układy elektronowe, które klasycznie wymagają kosztu wykładniczego, aby symulować dokładnie. Istnieją jednak ograniczenia dotyczące mocy obliczeń kwantowych. Jedno z takich ograniczeń jest podane przez twierdzenie no-cloning.

Twierdzenie no-cloning jest trafnie nazwane. Nie zezwala na klonowanie ogólnych stanów kwantowych przez komputer kwantowy. Dowód twierdzenia jest niezwykle prosty. Chociaż pełny dowód niez klonowania twierdzenie jest zbyt techniczny dla tego artykułu, dowód w przypadku braku dodatkowych kubitów pomocniczych znajduje się w zakresie.

W przypadku takiego komputera kwantowego operację klonowania należy opisać za pomocą macierzy jednostkowej. Pomiar kwantowy jest niedozwolony, ponieważ uszkodziłby stan kwantowy do sklonowania. Aby zasymulować operację klonowania, używana macierz jednostkowa musi mieć właściwość $$ U \ket{\psi}\ket{\psi}\ket{=\ket{\psi}{0}$$ dla dowolnego stanu .$\ket{\psi}$ Właściwość liniowości mnożenia macierzy oznacza następnie, że dla dowolnego drugiego stanu $\ket{\phi}$kwantowego ,

$$\begin{\begin{align}U \left[ \frac{{1}{\sqrt{{2}}\left(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right] \ket{{0}& =\frac{1}{\sqrt{2}} U + \frac{1}{\sqrt{{2}} U\ket{\psi}\ket{0}{0}&\\\ket{\phi}\ket{ amp; =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \ket{\phi}\ket{\phi} + \ket{\psi}\ket{\psi}\right) \\& \ne\left( (\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left( \frac{1}{\sqrt{{2}}\left{1}{\sqrt{{2}}\left\frac{(\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) ). \right \end{align} $$

Zapewnia to podstawową intuicję za twierdzeniem No-Cloning: każde urządzenie, które kopiuje nieznany stan kwantowy, musi wywołać błędy co najmniej w niektórych stanach, które kopiuje. Chociaż kluczowe założenie, że klonator działa liniowo na stanie wejściowym, może zostać naruszone poprzez dodanie i pomiar kubitów pomocniczych, takie interakcje również wyciekają informacje o systemie za pośrednictwem statystyk pomiarów i zapobiegają dokładnemu klonowaniu w takich przypadkach.

The No-Cloning Theorem jest ważne dla jakościowego zrozumienia obliczeń kwantowych, ponieważ jeśli można sklonować stany kwantowe niedrogi, to otrzymasz prawie magiczną zdolność do uczenia się na podstawie stanów kwantowych. Rzeczywiście, można naruszyć osławioną zasadę niepewności Heisenberga. Alternatywnie możesz użyć optymalnego klonatora, aby pobrać pojedynczą próbkę ze złożonej dystrybucji kwantowej i nauczyć się wszystkiego, czego można się dowiedzieć na temat tej dystrybucji tylko z jednego przykładu. Byłoby tak, jakbyś przerzucał monetę i obserwując głowy, a następnie mówiąc przyjacielowi o wyniku, który im odpowiada &; Ah rozkład tej monety musi być Bernoulli z $p=0,512643\ldots$!&Quot; Taka instrukcja byłaby niesensowna, ponieważ jeden kawałek informacji (wynik głowy) po prostu nie może dostarczyć wielu bitów informacji potrzebnych do kodowania dystrybucji bez istotnych wcześniejszych informacji. Podobnie, bez wcześniejszych informacji nie można całkowicie sklonowania stanu kwantowego, tak jak nie można przygotować zespołu takich monet bez znajomości $p$.

Informacje nie są bezpłatne w obliczeniach kwantowych. Każdy mierzony kubit daje jeden kawałek informacji, a Theorem No-Cloning pokazuje, że nie ma backdoor, który można wykorzystać, aby obejść fundamentalny kompromis między informacjami uzyskanymi na temat systemu i wywołanymi zakłóceniami.

Powiązana zawartość