Vetores e matrizes na computação quântica
Alguma familiaridade com álgebra linear é essencial para entender a computação quântica. Este artigo apresenta os conceitos básicos de álgebra linear e como trabalhar com vetores e matrizes na computação quântica.
Vetores
Um vetor de coluna, ou vetor para abreviar, $v$ de dimensão (ou tamanho) $n$ é uma coleção de $n$ números $complexos (v_1,v_2,\ldots,v_n)$ organizados como uma coluna:
$v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$
A norma de um vetor $v$ é definida como $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$. Um vetor é chamado de vetor unitário se sua norma for $1$.
O adjunto de um vetor $de coluna v$ é um vetor de linha denotado como $v^\dagger$ e é definido como a transposição conjugada de $v$. Para um vetor $de coluna v$ de dimensão $n$, o adjunto é um vetor de linha de dimensão $1 \times n$:
$\begin{bmatrix}v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots& v_n^* \end{bmatrix}$
onde $v_i^*$ denota o conjugado complexo de $v_i$.
Usando álgebra linear, o estado de um qubit $\psi= a \ket{0} + b \ket{1}$ é descrito como um vetor de estado quântico $\begin{bmatrix} a \ b \end{bmatrix}$, em que $|a|^2 + |b|^2 = 1$. Para obter mais informações, consulte O qubit.
Produto escalar
Dois vetores podem ser multiplicados juntos através do produto escalar, também conhecido como produto escalar ou produto interno. Como o nome indica, o resultado do produto escalar de dois vetores é um escalar. O produto escalar dá a projeção de um vetor em outro e é usado para expressar um vetor como uma soma de outros vetores mais simples. O produto escalar entre dois vetores $de coluna u$ e $v$ é denotado como $\left\langle u, v\right\rangle= u^\dagger v $ e é definido como
$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v\begin{bmatrix}=u_1^* & \cdots& u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n \end{bmatrix}= u_1^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n.\\\begin{bmatrix} $$
Com o produto escalar, a norma de um vetor $v$ pode ser escrita como $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.
Você pode multiplicar um vetor por um número $a$ para formar um novo vetor cujas entradas são multiplicadas por $a$. Também podemos adicionar dois vetores $u$ e $v$ para formar um novo vetor cujas entradas são a soma das entradas de $u$ e $v$. Essas operações são as seguintes:
$ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$
Matrizes
Uma matriz de tamanho $m \times n$ é uma coleção de $m\cdot n$ números complexos organizados em $m$ linhas e $n$ colunas, conforme mostrado abaixo:
$M =\begin{bmatrix} M_{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\\\end{bmatrix}$
Observação
Observe que um vetor de dimensão $n$ é simplesmente uma matriz de tamanho $n\times 1$.
As operações quânticas são representadas por matrizes quadradas, ou seja, o número de linhas e colunas é igual. Por exemplo, as operações de qubit único são representadas por $2 \times 2$ matrizes, como a operação Pauli $X$
$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$
Dica
Em Q#, a operação de Pauli $X$ é representada pela X operação.
Tal como acontece com os vetores, você pode multiplicar uma matriz por um número $c$ para obter uma nova matriz onde cada entrada é multiplicada por $c$, e duas matrizes do mesmo tamanho podem ser adicionadas para produzir uma nova matriz cujas entradas são a soma das respectivas entradas das duas matrizes.
Multiplicação de matrizes
Você também pode multiplicar uma matriz $M$ de dimensão $m \times n$ e uma matriz $N$ de dimensão $n \times p$ para obter uma nova matriz $P$ de dimensão $m \times p$ da seguinte maneira:
$ \begin{ \begin{align} &\begin{bmatrix} M_{{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{{11} N_{{12}\cdots N_{1p}\\ N_{{21} N_{22}\cdots N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1} N_{n2}\cdots N_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{{11} P_{12}\cdots P_{1p}\\ P_{21} P_{{22}\cdots P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1} P_{m2}\cdots P_{mp}\end{bmatrix}\end{align}$
em que as entradas de $P$ são $P_{ik}=\sum_j M_{ij}N_{jk}$. Por exemplo, a entrada $P_ é o produto escalar da primeira linha de $M com a primeira coluna de $N$$.{11}$ Observe que, como um vetor é simplesmente um caso especial de uma matriz, essa definição se estende à multiplicação de vetores de matrizes.
Tipos especiais de matrizes
Uma matriz quadrada especial é a matriz de identidade, designada $\mathbb{\mathbb{I}$, que tem todos os elementos diagonais iguais a $1$ e os elementos restantes iguais a $0$:
$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\\ddots\\ 0 0 \cdots 1 \end{bmatrix}.$
Para uma matriz quadrada A$, uma matriz $B$ é seu inverso se $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$.$ Se uma matriz $A$ tem um inverso, a matriz inversa é única e é escrita como $A^{-1}$.
Para qualquer matriz $M$, a transposição adjunta ou conjugada de $M$ é a matriz $N$ tal que $N_{ij}= M_{ji}^*$. O adjunto de M$ é denotado $$M^\dagger$.
Uma matriz $U$ é unitária se $UU^\dagger= U^\dagger U =\mathbb{I}$ ou o equivalente, $U^{{-1}= U^\dagger$. Uma propriedade importante das matrizes unitárias é que elas preservam a norma de um vetor. Isso ocorre porque
$\langle v,v \rangle=v^{\dagger} v = v^{\dagger} U^{{-1} U v = v^{\dagger} U^{\dagger} U v =\langle U v, U v\rangle.$
Observação
As operações quânticas são representadas por matrizes unitárias, que são matrizes quadradas cujo adjunto é igual ao seu inverso.
Uma matriz $M$ é chamada Hermitiana se $M=M^\dagger$.
Na computação quântica, há essencialmente apenas duas matrizes que você encontra: hermitiana e unitária.
Produto tensorial
Outra operação importante é o produto tensorial, também chamado de produto direto da matriz ou produto de Kronecker.
Considere os dois vetores $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ e $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. O produto tensorial é indicado como $v \otimes u$ e resulta em uma matriz de blocos.
$$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b d \end{bmatrix}$$
Observação
Observe que o produto tensorial é diferenciado da multiplicação de matrizes, que é uma operação totalmente diferente.
O produto tensor é usado para representar o estado combinado de vários qubits. O verdadeiro poder da computação quântica vem do aproveitamento de vários qubits para realizar cálculos. Para obter mais informações, consulte Operações em vários qubits.