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Medições de Pauli de qubit único e multi-qubit

  • Artigo

Ao trabalhar com Q#o , você descobre que as medições de Pauli são um tipo comum de medição. As medições de Pauli generalizam as medidas de base computacional para incluir medidas em outras bases e de paridade entre diferentes qubits. Nesses casos, é comum discutir a medição de um operador Pauli, que é um operador como $X,Y,Z$ ou $Z\otimes Z, X\otimes X, X\otimes Y$e assim por diante. Para obter as noções básicas da medição quântica, consulte O qubit e Vários qubits.

Discutir a medição em termos de operadores de Pauli é comum no subcampo da correção de erros quânticos.
O guia Q# segue uma convenção semelhante; este artigo explica essa exibição alternativa de medidas.

Dica

Em Q#, os operadores Pauli de vários qubits são geralmente representados por matrizes do tipo Pauli[]. Por exemplo, para representar $X \otimes Z \otimes Y$, você pode usar a matriz [PauliX, PauliZ, PauliY].

Antes de se aprofundar nos detalhes de como pensar em uma medida Pauli, é útil pensar sobre o que medir um único qubit dentro de um computador quântico faz com o estado quântico. Imagine que tenhamos um estado quântico de $n$ qubits; então, medir um qubit imediatamente descarta metade das possibilidades de $2^n$ em que o estado poderia estar. Em outras palavras, a medição projeta o estado quantum em um dos dois espaços. Você pode generalizar a maneira como pensa sobre a medição para refletir essa intuição.

Para identificar esses subespaços de modo conciso, precisamos de uma linguagem para descrevê-los. Uma forma de descrever os dois subespaços é especificá-los por meio de uma matriz que tem apenas dois eigenvalues exclusivos, tomados pela convenção como sendo $\pm 1$. Para obter um exemplo simples de descrição de subespaços dessa forma, considere $Z$:

$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$

Ao ler os elementos diagonais da matriz de Pauli-$Z$, você pode ver que $Z$ tem dois autovetores, $\ket{0}$ e $\ket{1}$, com autovalores correspondentes de $\pm 1$. Portanto, se uma medida do qubit resultar em Zero (correspondente ao estado $\ket{0}$), é sabido que o estado do qubit é um $+1$ eigenstate do operador $Z$. De modo semelhante, se o resultado é One, sabemos que o estado do qubit é um $-1$ autoestado de $Z$. Esse processo é mencionado na linguagem de medidas Pauli como "medição de Pauli $Z$," e é totalmente equivalente a executar uma medida de base computacional.

Qualquer matriz $2\times 2$ que seja uma transformação unitária de $Z$ também atende a esses critérios. Ou seja, você também pode usar uma matriz $A=U^\dagger Z U$, em que $U$ é qualquer outra matriz unitária, para fornecer uma matriz que define os dois resultados de uma medida em seus $\pm 1$ eigenvectors. A notação de medições de Pauli faz referência a essa equivalência unitária identificando as medidas $X,Y,Z$ como medidas equivalentes que poderiam ser feitas para obter informações de um qubit. Essas medidas são fornecidas aqui por conveniência.

Medições de Pauli Transformação unitária
$Z$ $\mathbf{1}$
$X$ $H$
$Y$ $HS^{\dagger}$

Ou seja, usando esta linguagem, " medida $Y$" é equivalente a aplicar $HS^\dagger$ e depois medir na base computacional, onde S é uma operação quântica intrínseca às vezes chamada de " porta de fase,& e pode ser simulado usando a matriz unitária

$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 \begin{bmatrix} 0 & i \\.&\end{bmatrix} \end{align} $$

Também é equivalente a aplicar $HS^\dagger$ ao vetor de estado quântico e, em seguida, medir $Z$, de modo que a operação a seguir seja equivalente a Measure([PauliY], [q]):

operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
    mutable result = Zero;
    within {
        Adjoint S(q);
        H(q);
    } apply {
        result = M(q);
    }
    return result;
}

O estado correto é então encontrado transformando-se de volta para a base computacional, o que equivale a aplicar $SH$ ao vetor de estado quântico; no trecho de código, a transformação de volta para a base computacional é tratada automaticamente com o uso do within … apply bloco.

Em Q#, o resultado---isto é, a informação clássica extraída da interação com o estado--- é dada usando um Result valor $j \in \{\texttt{Zero}, \texttt{One}\}$ indicando se o resultado está no $(-1)^j$ autoespaço do operador de Pauli medido.

Medições de vários qubits

As medições de operadores de Pauli de vários qubits são definidas da mesma forma, como visto em:

$$ Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 & &0 amp; &0 amp; \\ 0 0&-1& &0 amp; \\ 0 0& &0 amp;-1& \\ 0 0& &0 amp; &0 amp; 1\end{bmatrix}. $$

Assim, os produtos tensores de dois operadores $Z$ de Pauli formam uma matriz composta por dois espaços que consistem em $+1$ e $-1$ eigenvalues. Assim como acontece com o caso de qubit único, ambos constituem um meio-espaço , o que significa que metade do espaço vetorial acessível pertence ao autoespaço $+1$ e a metade restante ao autoespaço $-1$. Em geral, é fácil ver a definição do produto tensor que qualquer produto tensor de operadores de Pauli $Z$ e a identidade também obedece a isso. Por exemplo,

$$\begin{align}Z \otimes\mathbf{{1}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 amp; 0 &\\0 & 1 & 0 & 0 amp; 0 \\& amp; 0 amp; -&1 & 0 \\ 0 & 0 amp; 0 & 0 amp; -&1 .\end{bmatrix} \end{align} $$

Como antes, qualquer transformação unitária de tais matrizes também descreve dois meios-espaços rotulados com $\pm 1$ autovalores. Por exemplo, $X\otimes X = H\otimes H(Z\otimes Z)H\otimes H$ da identidade que $Z=HXH$. Semelhante ao caso de um qubit, todas as medidas de Pauli de dois qubits podem ser escritas como $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ para matrizes unitárias $4\times 4$ $U$. As transformações são enumeradas na tabela a seguir.

Observação

Nesta tabela, $\operatorname{SWAP}$ é usado para indicar a matriz$$\begin{align}\operatorname{ SWAP}& =\left(\begin{matriz} 1 & 0 & 0 amp; 0 & 0 \\& 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 amp; &0 amp; &\\ 0 & 0 amp; 0 amp; 0 & 1 &\end{matriz}\right) \end{align}$$ usado para simular a operação SWAPintrínseca .

Medições de Pauli Transformação unitária
$Z\otimes\mathbf{1}$ $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$
$X\otimes\mathbf{1}$ $H\otimes\mathbf{1}$
$Y\otimes\mathbf{1}$ $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$
$\mathbf{1}\otimes Z$ $\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes X$ $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$\mathbf{1}\otimes Y$ $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{SWAP}$
$Z\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}$
$X\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes\mathbf{1})$
$Y\otimes Z$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$
$Z\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$
$X\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes H)$
$Y\otimes X$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes H)$
$Z\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$
$X\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$
$Y\otimes Y$ $\operatorname{CNOT}_{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$

Aqui, a operação CNOT é exibida pelo motivo a seguir. Cada medida de Pauli que não inclui a matriz $\mathbf{1}$ é equivalente a um unitário de $Z\otimes Z$ pelo raciocínio acima. O eigenvalues de $Z\otimes Z$ dependem apenas da paridade do qubits que compõem cada vetor base computacional, e as operações controladas não servem para computar essa paridade e armazená-las no primeiro bit. Depois que o primeiro bit for medido, você poderá recuperar a identidade do meio-espaço resultante, que é equivalente a medir o operador Pauli.

Além disso, embora possa ser tentador assumir que medir $Z\otimes Z$ é o mesmo que medir sequencialmente $Z\otimes\mathbb{{1}$ e, em seguida, $\mathbb{1}\otimes Z$, essa suposição seria falsa. O motivo é que medir $Z\otimes Z$ projeta o estado quantum no eigenstate $+1$ ou $-1$ desses operadores. Medir $Z\otimes\mathbb{1}$ e depois $\mathbb{1}\otimes Z$ projeta o vetor de estado quântico primeiro em um meio espaço de $Z\otimes\mathbb{{1}$ e depois em um meio espaço $\mathbb{{1}\otimes Z$. Como há quatro vetores de base computacional, a execução de ambas as medidas reduz o estado para um quarto de espaço e, portanto, a reduz para um só vetor de base computacional.

Correlações entre qubits

Outra maneira de examinar a medição de produtos tensores de matrizes Pauli, como $X\otimes X$ ou $Z\otimes Z$, é que essas medidas permitem que você examine as informações armazenadas nas correlações entre os dois qubits. Medir $X\otimes 1$ permite que você examine as informações armazenadas localmente no primeiro qubit. Embora os dois tipos de medidas sejam igualmente valiosos na computação quântica, o primeiro ilumina o poder da computação quântica. Ele revela que, na computação quântica, muitas vezes as informações que você deseja aprender não são armazenadas em nenhum qubit único, mas sim armazenadas não localmente em todos os qubits de uma só vez e, portanto, somente examinando-as por meio de uma medida conjunta (por exemplo, $Z\otimes Z$) faz com que essas informações se tornem manifestos.

Operadores Pauli arbitrários, como $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ também podem ser medidos. Todos esses produtos tensores de operadores de Pauli têm apenas dois eigenvalues $\pm 1$ e ambos eigenspaces constituem metades do espaço de vetor inteiro. Assim, eles coincidem com os requisitos declarados anteriormente.

Em Q#, essas medidas retornam $j$ se a medida produz um resultado no eigenspace de sinal $(-1)^j$. Ter medições de Pauli como um recurso embutido é Q# útil porque medir tais operadores requer longas cadeias de portas NOT controladas e transformações de base para descrever a porta U$ diagonalizante $necessária para expressar a operação como um produto tensorial de $Z$ e $1$. Ao ser capaz de especificar que você deseja realizar uma dessas medidas predefinidas, você não precisa se preocupar em como transformar sua base de modo que uma medida de base computacional forneça as informações necessárias. Q# manipula todas as transformações de base necessárias automaticamente para você.

O teorema Sem Clonagem

As informações quantum são poderosas. Ele permite que você faça coisas incríveis, como números de fatores exponencialmente mais rápidos do que os algoritmos clássicos mais conhecidos, ou simule com eficiência sistemas de elétrons correlacionados que classicamente exigem custo exponencial para simular com precisão. No entanto, há limitações ao poder da computação quântica. Uma delas é fornecida pelo teorema Sem Clonagem.

O teorema Sem Clonagem tem um nome inadequado. Ele não permite a clonagem de estados quantum genéricos por um computador quantum. A prova do teorema é bastante simples. Embora uma prova completa do teorema da não clonagem seja muito técnica para este artigo, a prova no caso de nenhum qubit auxiliar adicional está dentro do escopo.

Para esse computador quântico, a operação de clonagem deve ser descrita com uma matriz unitária. A medição quântica não é permitida, pois corromperia o estado quântico a ser clonado. Para simular a operação de clonagem, é necessário que a matriz unitária usada tenha a propriedade de $$ U \ket{\psi}\ket{{0}=\ket{\psi}\ket{\psi}$$ para qualquer estado $\ket{\psi}$. Em seguida, a propriedade linear da multiplicação de matriz implica que, para qualquer segundo estado quantum $\ket{\phi}$,

$$\begin{\begin{align}U \left[\frac{{1}{\sqrt{{2}}\left (\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right]\ket{{0}& amp; =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} +\frac{1}{\sqrt{{2}}U\ket{\psi}\ket{0}\\& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\ket{\phi}\ket{\phi} ( +\ket{\psi}\ket{\psi}\right ) \\& \ne\left( (\frac{+{1}{\sqrt{{2}}\left) \ket{\phi}) \ket{\psi}\right(\right\otimes (\left+\frac{1}{\sqrt{{2}}\left) ). \ket{\phi}\ket{\psi}\right\right \end{align} $$

Isso fornece a intuição fundamental por trás do teorema Sem Clonagem: qualquer dispositivo que copia um estado quantum desconhecido deve induzir erros em pelo menos alguns dos estados que ele copia. Embora a principal suposição de que o clonador atue linearmente no estado de entrada possa ser violada por meio da adição e da medição do qubits auxiliar, essas interações também vazam informações sobre o sistema por meio de estatísticas de medição e impedem a clonagem exata nesses casos.

O teorema Sem clonagem é importante para uma compreensão qualitativa da computação quântica porque, se você puder clonar os estados quantum de modo não dispendioso, terá uma capacidade quase mágica de aprender com os estados quantum. Na verdade, você poderia violar o louvado princípio de incerteza de Heisenberg. Como alternativa, você pode usar um clonador ideal para pegar uma amostra de uma distribuição do quantum complexa e aprender tudo o que puder sobre essa distribuição de apenas uma amostra. Isso seria como se você jogasse uma moeda e observasse cara e então, ao contar a um amigo sobre o resultado, ele responder "Ah, a distribuição daquela moeda deve ser Bernoulli com $p=0.512643\ldots$!" Tal afirmação seria absurda porque um bit de informação (o resultado cara) simplesmente não pode fornecer os muitos bits de informações necessários para codificar a distribuição sem informações prévias substanciais. Da mesma forma, sem informações anteriores, você não pode clonar perfeitamente um estado quântico assim como não pode preparar um conjunto dessas moedas sem saber $p$.

As informações não são gratuitas na computação quântica. Cada qubit medido fornece um único bit de informação, e o Teorema No-Cloning mostra que não há nenhum backdoor que possa ser explorado para contornar o compromisso fundamental entre as informações obtidas sobre o sistema e a desordem causada nele.

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