Splątanie i korelacje
Splątanie to podstawowa koncepcja mechaniki kwantowej, która opisuje korelację kwantową między systemami kwantowymi. Gdy co najmniej dwa kubity są splątane, stan jednego kubitu zależy od stanu drugiego kubitu, nawet jeśli są daleko od siebie. Ta korelacja kwantowa jest unikatową cechą systemów kwantowych, które nie mają klasycznego odpowiednika.
Ten artykuł zawiera omówienie splątania, korelacji i objaśnienia sposobu tworzenia splątania przy użyciu bram kwantowych.
Co to jest splątanie?
Wyobraź sobie, że masz dwa kubity, $A$ i $B$. Kubity są niezależne od siebie, co oznacza, że informacje o stanie kubitu A, bez względu na to, należy tylko do kubitu $$A$$. Podobnie informacje o stanie kubitu B należą do kubitu $$B$$. W takim przypadku kubity nie są splątane, ponieważ nie udostępniają żadnych informacji o ich stanach.
Teraz wyobraź sobie, że splątasz kubity. Jeśli kubity A i B są splątane, informacje o stanie kubitu A$ nie są niezależne od stanu kubitu $$B$.$ $$ $ W przypadku splątania informacje są udostępniane między obydwoma kubitami i nie ma możliwości poznania stanu kubitu $A$ lub kubitu $B$. Stan systemu globalnego można opisać tylko, a nie stan poszczególnych kubitów.
Splątanie jest korelacją kwantową między co najmniej dwiema cząstkami. Jeśli dwie cząstki są splątane, nie można ich opisać niezależnie, ale tylko jako cały system.
Co najmniej dwie cząstki mogą być splątane, nawet jeśli są oddzielone dużymi odległościami. Ta korelacja jest silniejsza niż jakakolwiek klasyczna korelacja i jest kluczowym zasobem dla zadań przetwarzania informacji kwantowych, takich jak teleportacja kwantowa, kryptografia kwantowa i obliczenia kwantowe. Jeśli chcesz dowiedzieć się, jak teleportować kubit przy użyciu splątania, zapoznaj się z tym modułem w ścieżce szkoleniowej usługi Azure Quantum.
Uwaga
Splątanie to właściwość systemów z wieloma kubitami, a nie pojedynczych kubitów. Oznacza to, że pojedynczy kubit nie może być splątany.
Definiowanie splątania w systemach kwantowych
Wyobraź sobie dwa kubity $A$ i $B$ , tak aby stan systemu $\ket{\phi}$ globalnego był:
$$\ket{\phi}=\frac1{\sqrt2}(\ket{0_A 0_B+ \ket{1_A 1_B}})$$
Uwaga
W notacji$\ket{ Dirac 0_A 0_B|}=0_\text{A}|0\rangle\rangle_\text{B.}$ Pierwsza pozycja odpowiada pierwszemu kubitowi, a druga pozycja odpowiada drugiemu kubitowi.
System $\ket{\phi}$ globalny znajduje się w superpozycji stanów $|00\rangle$ i $|11\rangle$. Ale jaki jest indywidualny stan kubitu $A$? A kubit $B$? Jeśli spróbujesz opisać stan kubitu $A$ bez uwzględniania stanu kubitu $B$, kończy się niepowodzeniem. Podsystemy $A$ i $B$ są splątane i nie można ich opisać niezależnie.
W przypadku mierzenia obu kubitów możliwe są tylko dwa wyniki: $\ket{{00}$ i $\ket{{11}$, z których każde ma takie samo prawdopodobieństwo $\frac{1}{{2}$. Prawdopodobieństwo uzyskania stanów $|01\rangle$ i $|10\rangle$ wynosi zero.
Ale co się stanie, jeśli zmierzysz tylko jeden kubit? Gdy dwa cząstki są splątane, wyniki pomiaru są również skorelowane. Oznacza to, że jakakolwiek operacja ma miejsce w stanie jednego kubitu w splątanej parze, również wpływa na stan drugiego kubitu.
Jeśli mierzysz tylko kubit $A$ i otrzymujesz $|stan 0\rangle$ , oznacza to, że system globalny zwija się do stanu $\ket{00}$. Jest to jedyny możliwy wynik, ponieważ prawdopodobieństwo pomiaru $|01\rangle$ wynosi zero. Dlatego bez mierzenia kubitu $B$ można mieć pewność, że drugi kubit jest również w $|stanie 0\rangle$ . Wyniki pomiaru są skorelowane, ponieważ kubity są splątane.
Stan $\ket{\phi}$ kwantowy jest nazywany stanem dzwonu. Istnieją cztery stany Bell:
$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2 + \frac1{\sqrt2$$\ket{\phi}\ket{{11}$${00}}\ket{^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2\ket{\psi$$$$}\ket{11}^{+}}=\frac1{\sqrt2 + \frac1 2{01}}\ket{$$}\ket{$$\ket{\psi{10}^{-}}=\frac1{\sqrt{\sqrt2 - \frac1 2}\ket{01}{\sqrt}\ket{10}$$
Uwaga
W tym przykładzie użyto dwóch kubitów, ale splątanie kwantowe nie jest ograniczone do dwóch kubitów. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje możliwość, że wiele systemów kubitowych współużytkuje splątanie.
Tworzenie splątania za pomocą operacji kwantowych
Operacje kwantowe umożliwiają tworzenie splątania kwantowego. Jednym z najpopularniejszych sposobów tworzenia splątania do dwóch kubitów w stanie $|00\rangle$ jest zastosowanie operacji Hadamard H$ i kontrolowanej operacji $$NOT,$ aby przekształcić je w stan $\ket{\phiBell ^+}=\frac1{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$.
Operacja $CNOT$ przyjmuje dwa kubity jako dane wejściowe, jeden działa jako kubit kontrolny, a drugi to kubit docelowy. Operacja CNOT przerzuca stan kubitu docelowego, jeśli i tylko wtedy, gdy stan kubitu sterującego wynosi $|1\rangle$.
| Dane wejściowe | Dane wyjściowe |
|---|---|
| $\ket{00}$ | $\ket{00}$ |
| $\ket{01}$ | $\ket{01}$ |
| $\ket{10}$ | $\ket{11}$ |
| $\ket{11}$ | $\ket{10}$ |
Oto, jak to działa:
Weź dwa kubity w stanie $|00\rangle$. Pierwszy kubit to kubit kontrolny, a drugi kubit to kubit docelowy.
Utwórz stan superpozycji tylko w kubitie sterującym $, stosując H$.
$$H |0_c\rangle={2}}\frac{1}{\sqrt{(|0_c\rangle+|1_c)\rangle$$
Uwaga
Indeksy ${}dolny _c$ i ${}_t$ określają kubity sterujące i docelowe.
$Zastosuj operator CNOT$ do kubitu sterującego, który znajduje się w stanie superpozycji, oraz kubit docelowy, który znajduje się w 0_t\rangle$ stanu$|.
$$CNOT \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c+\ket{1_c})\ket{0}_t =}CNOT \frac{1}{\sqrt2}(0_c 0_t+|\ket{1_c 0_t}})==\frac{$${1}{\sqrt$$2(\ket{CNOT \ket{0_c 0_t} + CNOT \ket{1_c 0_t})$$=\frac{1}{\sqrt$$=2}}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t)}$$
Napiwek
Aby dowiedzieć się, jak splątać dwa kubity za pomocą Q#polecenia , zobacz Szybki start: tworzenie pierwszego Q# programu.
Separability i splątanie kwantowe
Splątanie może być postrzegane jako brak separability: stan jest splątane, gdy nie jest separowalny.
Stan kwantowy jest separowalny, jeśli można go zapisać jako stan produktu podsystemów. Oznacza to, że ab stanu $\ket{\phi}{\text{}}$jest separowalny, jeśli można go zapisać jako kombinację stanów produktu podsystemów, czyli{\text{$\ket{\phi} AB=}}\ket{a}_A\ket{\otimes b}_B.$
Splątanie w czystych stanach
Czysty stan kwantowy to pojedynczy wektor ket, taki jak stan $\ket{+\frac{{1}{\sqrt{}={2}}(\ket{0} + \ket{1}).$
Nie można zapisać czystych stanów jako mieszaniny statystycznej (lub kombinacji wypukłych) innych stanów kwantowych.
Na sferze Bloch czyste stany są reprezentowane przez punkt na powierzchni sfery, podczas gdy stany mieszane są reprezentowane przez punkt wewnętrzny.
Czysty stan$\ket{\phi}{AB}$ jest splątane, jeśli nie można go zapisać jako kombinacji stanów produktu podsystemów, czyli{$\ket{\phi} AB=}\ket{a}_A\ket{\otimes b}_B.$
Rozważmy na przykład stan \ket{\psi}$$_{AB}=\frac{{1}{2} (\ket{{00} + + \ket{{10} +)\ket{\ket{01}{11}$$
Na początku stan _{AB}$ nie wygląda jak stan $\ket{\psi}produktu, ale jeśli ponownie zapiszemy stan jako
$$\ket{\psi}_{AB}\frac{{2}}{1}{\sqrt{= (\ket{0}_A +{1}\ket{_A)\frac{1}{\sqrt{{2}} \otimes(\ket{{0}_B +_B)=\ket{+{1}}\ket{_A \ket{+_B}$$
stan $\ket{\psi}_{\text{AB}}$ jest stanem produktu, dlatego nie jest splątane.
Splątanie w stanach mieszanych
Mieszane stany kwantowe to statystyczny zespół czystych stanów. Aby opisać stany mieszane, łatwiej jest użyć macierzy $gęstości \rho$ , a nie notacji ket.
Stan $mieszany \rho$ jest separowalny, jeśli można go zapisać jako wypukłą kombinację stanów produktu podsystemów, takich jak
$$\rho =\sum_j p_j \rho^{A}_j \otimes \rho^{B}_j$$
gdzie $p_j \geq 0, \sum p_j = 1$ i $\rho^{A}_j \geq 0, \rho^{B}_j \geq 0$.
Aby uzyskać więcej informacji, zobacz Macierze gęstości.
Stan $mieszany \rho$ jest splątany, jeśli nie jest separable, czyli nie można go zapisać jako wypukłe połączenie stanów produktu.
Uwaga
- Jeśli stan $splątania \rho$ jest czysty, zawiera tylko korelacje kwantowe.
- Jeśli splątany stan $\rho$ jest mieszany, zawiera zarówno korelacje klasyczne, jak i kwantowe.
Opis korelacji klasycznych
Korelacje klasyczne są spowodowane brakiem wiedzy na temat stanu systemu. Oznacza to, że istnieje pewna losowość związana z klasyczną korelacją, ale można ją wyeliminować, zdobywając wiedzę.
Rozważmy na przykład dwa pola zawierające jedną piłkę. Wiesz, że obie piłki są w tym samym kolorze, niebieskim lub czerwonym. Jeśli otworzysz jedno pole i dowiesz się, że piłka wewnątrz jest niebieska, to wiemy, że druga piłka jest niebieska też. W związku z tym są one skorelowane. Jednak niepewność, jaką mamy podczas otwierania pola, wynika z braku wiedzy, to nie jest fundamentalne. Piłka była niebieska, zanim otworzyliśmy pole. W związku z tym jest to klasyczna korelacja, a nie korelacja kwantowa.
Mieszany stan kwantowy systemu utworzonego przez dwa pola $\rho_{boxy}$ można zapisać jako
$$\rho_{boxes}\frac{={1}{2} (\ket{czerwony}\bra{czerwony}_\otimes{}\ket{czerwony}\bra{}_B) +{1}{2}\frac{ (\ket{niebieski}\bra{}_A\ket{\otimes niebieski}\bra{}_B)$$
Zwróć uwagę, że stan $\rho_{boxes}$ jest separowalny, gdzie $p_1 p_2 = =\frac{1}{2}$ następnie zawiera tylko korelacje klasyczne. Innym przykładem mieszanego stanu możliwego do separowania jest
$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{0}\bra{{0}_A _B\ket{0}\bra{0}\otimes) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A _B)\otimes\ket{{1}\bra{{1}$$
Teraz rozważ następujący stan:
$$\rho =\frac{{1}{4} (\ket{{00}\bra{00} + + \ket{11}\bra{00}{11}\bra{\ket{\ket{{11}{00}\bra{11} ) =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$
W tym przypadku nasza wiedza o stanie jest idealna, wiemy z maksymalną pewnością, że system $AB$ jest w stanie $\ket{\phiBell ^+}$ i $\rho$ jest czystym stanem. W związku z tym nie ma klasycznych korelacji. Jednak jeśli mierzymy zauważalne w podsystemie $A$, uzyskujemy losowy wynik, który daje nam informacje o stanie podsystemu $B$. Ta losowość jest podstawowa, a mianowicie są to korelacje kwantowe.
Przykładem stanu kwantowego, który zawiera zarówno korelacje klasyczne, jak i kwantowe, jest
$$\rho ={1}{2}\frac{(\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$
Uwaga
Stan separowalny zawiera tylko korelacje klasyczne.