Notacja dirac w obliczeniach kwantowych
notacja Dirac to zwięzły i zaawansowany sposób opisywania stanów kwantowych i operacji. Nazwa pochodzi od fizyka Paula Diraca, który opracował notację w 1930 roku. Notacja Dirac jest używana w obliczeniach kwantowych do opisywania stanów kwantowych, operacji kwantowych i pomiarów kwantowych.
W tym artykule przedstawiono notację Dirac i pokazano, jak używać jej do opisywania stanów kwantowych i operacji.
Wektory w notacji Dirac
Istnieją dwa typy wektorów w notacji Diraca: wektor bra, odpowiadający wektorowi wiersza, oraz wektor ket, odpowiadający wektorowi kolumnowemu. Dlatego notacja Diraca nazywa się także notacją bra-ket.
Jeśli $\psi$ jest wektorem kolumnowym, możesz zapisać go w notacji Dirac jako $\ket{\psi}$, gdzie $\ket{\cdot}$ oznacza, że jest to wektor ket .
Podobnie wektor wiersza $\psi^\dagger$ jest wyrażony jako $\bra{\psi}$, który jest wektorem bra . Innymi słowy, $\psi^\dagger$ jest uzyskiwany przez zastosowanie złożonej sprzężenia typu entry-wise do elementów transponowania elementu $\psi$. Notacja biustonosza bezpośrednio oznacza, że $\braket{\psi|\psi}$ jest to wewnętrzny produkt wektora $\psi$ z samą definicją $1$.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli $\psi$ i $\phi$ są wektorami stanu kwantowego, ich wewnętrzny produkt to $\braket{\phi|\psi}$. Ten wewnętrzny produkt oznacza, że prawdopodobieństwo pomiaru stanu $\ket{\psi}$ wynosi $\ket{\phi}$$|\braket{\phi|\psi}|^2$.
Stany podstawy obliczeniowej $0$ i $1$ są reprezentowane odpowiednio jako $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}=\ket{{0}$ i $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}=\ket{1}$.
Przykład: reprezentacja operacji Hadamard z notacją Dirac
Zastosujmy bramę Hadamard $H$ do stanów kwantowych $\ket{0}$ i $\ket{1}$ przy użyciu notacji Dirac:
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{{0}=\ket{+}$$
$$ \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=H\ket{{1}=\ket{-}$$
Na sferze Blocha stany wynikowe odpowiadają wektorom jednostkowym w kierunkach $+x$ i $-x$. Te stany można również rozszerzyć przy użyciu notacji Dirac jako sum i $\ket{0}$$\ket{1}$:
$$ \ket{+}=\frac{{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1}) $$
$$ \ket{-} = \frac{1}{\sqrt{ {2}}(\ket{0} — \ket{1}) $$
Wektory obliczeniowe
Każdy stan kwantowy zawsze może być wyrażony jako suma wektorów bazowych obliczeniowych, a takie sumy są łatwo wyrażane przy użyciu notacji Dirac. Odwrotnie jest również prawdą w tym, że stany $\ket{+}$ i $\ket{-}$ również stanowią podstawę dla stanów kwantowych. Można to zobaczyć z faktu, że
$$ \ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}) $$
$$ \ket{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} - \ket{-}) $$
Jako przykład notacji Dirac należy wziąć pod uwagę braket $\braket{0 1|, który jest produktem wewnętrznym z zakresu od }$0 $$ do $1$. Można go zapisać jako
$$ \braket{0 | 1 1}=\begin{bmatrix}& 0 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\ 1\end{bmatrix}=0. $$
W tym przykładzie mówi się, że i $\ket{są wektorami ortogonalowymi, co oznacza, że {0}$$\ket{{1}$ 0 $\braket{ 1|}=1 \braket{ 0 0|}=.$ Ponadto w definicji $\braket{0 0 |}=\braket{1 1 |}=1$, co oznacza, że dwa wektory obliczeniowe mogą być również nazywane ortonormalami.
Te właściwości ortonormalne są używane w poniższym przykładzie. Jeśli masz stan $\ket{\psi}={\frac{3}{5}}\ket{{1}+{\frac{{4}{5}}\ket{0}$ , to ponieważ $\braket{1 | 0 0}=$ prawdopodobieństwo pomiaru $1 wynosi$
$$ \big|\braket{1 |^2\psi}\big|=\left|\frac{1 1{3}{5}\braket{| +}\frac{1 {4}{5}\braket{ 0|^2.}\right|=\frac{{9}{{25} $$
Notacja produktu Tensor
Notacja Diraca jest bardzo przydatna do wyrażenia iloczynu tensorowego . Produkt Tensor jest ważny w obliczeniach kwantowych, ponieważ wektor stanu opisany przez dwa niekorrelowane rejestry kwantowe to produkty tensorowe dwóch wektorów stanu.
Produkt tensor $\psi\otimes\phi$ dla dwóch wektorów stanu kwantowego $\phi$ i $\psi$ jest zapisywany w notacji Dirac jako $\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$. Zgodnie z konwencją można również napisać produkt tensor jako $\ket{\psi}\ket{\phi}=\ket{\psi\phi}$.
Na przykład stan dwóch kubitów zainicjowanych do stanu zera to $\ket{{0}\otimes\ket{0}=\ket{0}\ket{0}=\ket{00}$.
Przykład: Opisywanie superpozycji za pomocą notacji Dirac
W innym przykładzie sposobu używania notacji Dirac do opisywania stanu kwantowego należy wziąć pod uwagę następujące równoważne sposoby pisania stanu kwantowego, który jest równym superpozycją dla każdego możliwego ciągu bitowego długości $n$
$$H^ n{\otimes}\ket{0}=2^\frac{1}{{n/2_}}j\sum0{^2=}^{n-1}\ket{j}=\ket{+}^{\otimes n.} $$
W tym miejscu możesz się zastanawiać, dlaczego suma idzie z zakresu od $0$ do $2^{n-1}$ dla $n$ bitów. Najpierw należy pamiętać, że istnieje $2^{n}$ różnych konfiguracji, które $n$ bitów może potrwać. Można to zobaczyć, zauważając, że jeden bit może przyjmować 2$ wartości, ale dwa bity mogą przyjmować $$4$ wartości i tak dalej. Ogólnie rzecz biorąc, oznacza to, że istnieją $2^n$ różne możliwe ciągi bitowe, ale największa wartość zakodowana w każdym z nich $1 1\cdots= 2^n-1$, dlatego jest to górny limit dla sumy. Uwaga po stronie, w tym przykładzie nie użyto $\ket{+}^{\otimes n}=\ket{+}$ w analogii do$\ket{{0} ^{\otimes n}=\ket{{0}$. Ta konwencja notacyjna jest zarezerwowana dla stanu podstawy obliczeniowej z każdym kubitem zainicjowanym do zera. Chociaż taka konwencja jest rozsądna w tym przypadku, nie jest ona stosowana w literaturze kwantowej.
Express linearity with Dirac notation (Express linearity with Dirac notation)
Inną cechą notacji Dirac jest fakt, że jest liniowy. Na przykład dla dwóch liczb $\alpha$ zespolonych i $\beta$, można napisać
$$ \ket{\psi} \otimes( \alpha\ket{\phi} + \chi\beta\ket{)}= + \alpha\ket{\psi}\ket{\phi}\beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$
Oznacza to, że można dystrybuować notację produktu tensor w notacji Dirac, tak aby przyjmowanie produktów tensorowych między wektorami stanu wyglądało tak samo jak zwykłe mnożenie.
Wektory biustonosza są zgodne z podobną konwencją do wektorów ket. Na przykład wektor jest odpowiednikiem wektora $\bra{\psi}\bra{\phi}$$\psistanu ^\dagger\otimes\phi^\dagger=(\psi\otimes\phi)^\dagger$. Jeśli wektor $\ket{\psi}$ ket ma wartość $\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$, wówczas wersja wektora biustonosza to $\bra{\psi}=\ket{\psi}^ (\dagger=^\bra{{0}\alpha* +\bra{1}\beta^*)$.
Załóżmy na przykład, że chcesz obliczyć prawdopodobieństwo pomiaru stanu $\ket{\psi}=\frac{3}{5}\ket{{1} + \frac{4}{5}\ket{0}$ przy użyciu programu kwantowego do pomiaru stanów jako $\ket{+}$ lub .$\ket{{-}$ Następnie prawdopodobieństwo, że urządzenie wyświetli dane wyjściowe, że stan to $\ket{-}$
$$|\braket{- ^2|\psi}|=\left|\frac{({1}{\sqrt{ - {2}}\bra{0}\bra{{1})(\frac{3}{5}\ket{{1} +\frac{{4}{5}\ket{0} ) \right|^2-5=\left|\frac{3}{ + \sqrt{{2}}5\frac{{4}{\sqrt{2}}\right|^2.=\frac{{1}{{50}$$
Fakt, że znak ujemny pojawia się w obliczeniu prawdopodobieństwa, jest objawem interferencji kwantowej, która jest jednym z mechanizmów, za pomocą których obliczenia kwantowe zyskują przewagę nad obliczeniami klasycznymi.
ketbra lub produkt zewnętrzny
Ostatnim elementem, który warto omówić w notacji Dirac, jest ketbra lub produkt zewnętrzny. Produkt zewnętrzny jest reprezentowany w notacji Dirac jako $\ket{\psi}\bra{\phi}$. Produkt zewnętrzny jest definiowany za pomocą mnożenia macierzy jako $\ket{\psi}\bra{\phi}=\psi\phi^\dagger$ dla wektorów $\psi$ stanu kwantowego i .$\phi$ Najprostszym i prawdopodobnie najbardziej typowym przykładem tej notacji jest
$$ \ket{0} \bra{ {0} = \begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 0\\& 0 0\end{bmatrix}\qquad\ket{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 0\\& 1\end{bmatrix}. $$
Ketbras są często nazywane projektorami, ponieważ projektują stan kwantowy na stałą wartość. Ponieważ te operacje nie są unitarne (i nawet nie zachowują normy wektora), komputer kwantowy nie może deterministycznie zastosować projektora. Jednak projektory wykonują piękną pracę opisywania akcji, która ma pomiar w stanie kwantowym. Jeśli na przykład zmierzysz stan 0$\ket{\psi}$, wynikowa transformacja, której stan $$występuje w wyniku pomiaru, to
$$\ket{\psi} \rightstrzałka \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{0 ,|\psi}|}=\ket{{0}$$
jak można oczekiwać w przypadku zmierzenia stanu i znalezienia go jako $\ket{0}$. Aby powtórzyć, takie projektory nie mogą być stosowane w stanie w komputerze kwantowym deterministycznie. Zamiast tego można je w najlepszym razie zastosować losowo, a wynik $\ket{0}$ pojawia się z pewnym stałym prawdopodobieństwem. Prawdopodobieństwo pomyślnego pomiaru można zapisać jako oczekiwaną wartość projektora kwantowego w stanie
$$ \bra{\psi}(\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}=|\braket{\psi| 0}|^2,$$
co ilustruje, że projektory dają nowy sposób wyrażania procesu pomiaru.
Jeśli zamiast tego rozważysz pomiar pierwszego kubitu stanu wielu kubitów na $1$, możesz również opisać ten proces wygodnie przy użyciu projektorów i notacji Dirac:
$$P(\text{pierwszy kubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$
Tutaj macierz tożsamości może być wygodnie napisana w notacji Dirac jako
$$ \mathbb{I}=\ket{{0}\bra{0}+\ket{{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}1& 0 0\\& amp; 1 \end{bmatrix}. $$
W przypadku, gdy istnieją dwa kubity, projektor można rozszerzyć jako
$$ \ket{1} \bra{1} \otimes \mathbb{I}=\ket{{1}\bra{1}\otimes (\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\bra{{1})=\ket{10}\bra{{10} + . \ket{{11}\bra{{11} $$
Następnie można zobaczyć, że jest to zgodne z dyskusją na temat prawdopodobieństwa pomiaru dla stanów wielokątnych przy użyciu notacji wektorów kolumn:
$$P(\text{pierwszy kubit = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{{11}^\dagger)\psi=|e_{{10}^\dagger\psi|2 + |e_{11}^\dagger\psi|2,$$
który jest zgodny z dyskusją pomiarów z wieloma kubitami. Uogólnienie tego wyniku do przypadku z wieloma kubitami jest jednak nieco bardziej proste do wyrażenia przy użyciu notacji Dirac niż notacja wektorów kolumnowych i jest całkowicie równoważne poprzedniemu leczeniu.
Operatory gęstości
Innym przydatnym operatorem do wyrażania przy użyciu notacji Dirac jest operator gęstości, czasami znany również jako operator stanu. Jako wektor stanu kwantowego operator gęstości opisuje stan kwantowy systemu. Chociaż wektory stanu kwantowego mogą reprezentować tylko czyste stany, operatory gęstości mogą również reprezentować stany mieszane.
Ogólnie rzecz biorąc, dana macierz $\rho$ jest prawidłowym operatorem gęstości, jeśli spełnione są następujące warunki:
- $\rho$ jest macierzą liczb zespolonych
- $\rho = \rho^{\dagger}$ (czyli $\rho$ jest Hermitian)
- Każda wartość eigenvalue $p$$\rho$ jest nieujemna
- Wszystkie wartości eigenów $\rho$ sum do 1
Razem te warunki gwarantują, że $\rho$ można traktować jako zespół. Operator gęstości dla wektora $\ket{\psi}$ stanu kwantowego przyjmuje formę $\rho =\sum_i p_i _i\ket{\psi}\bra{\psi_i}$ jest dekompozycją $eigenvalue \rho, a następnie $\rho$ opisuje zespół $\rho$={\ket{\psi _i}\text{z prawdopodobieństwem} p_i .}$
Czyste stany kwantowe to te, które charakteryzują się pojedynczym wektorem ket lub funkcją falową i nie mogą być zapisywane jako mieszanina statystyczna (lub kombinacja wypukłych) innych stanów kwantowych. Mieszany stan kwantowy to statystyczny zespół czystych stanów.
Na sferze Bloch czyste stany są reprezentowane przez punkt na powierzchni sfery, podczas gdy stany mieszane są reprezentowane przez punkt wewnętrzny. Mieszany stan pojedynczego kubitu jest reprezentowany przez środek sfery, przez symetrię. Czystość stanu można wizualizować jako stopień, w którym znajduje się blisko powierzchni sfery.
Ta koncepcja reprezentowania stanu jako macierzy, a nie wektora, jest często wygodna, ponieważ daje wygodny sposób reprezentowania obliczeń prawdopodobieństwa, a także pozwala opisać zarówno niepewność statystyczną, jak i niepewność kwantową w ramach tego samego formalizmu.
Operator $gęstości \rho$ reprezentuje czysty stan, jeśli i tylko wtedy, gdy:
- $\rho$ można zapisać jako zewnętrzny iloczyn wektora stanu, $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$
- $\rho =\rho^2$
- $tr(\rho^2)=1$
Aby określić, jak blisko danego operatora $gęstości \rho$ ma być czysty, możesz przyjrzeć się śladowi (czyli sumie ukośnych elementów) $\rho^2$. Operator gęstości reprezentuje czysty stan, jeśli i tylko wtedy, gdy $tr(\rho ^{2})=1$.
Q# sekwencje bramy równoważne stanom kwantowym
Ostatnim punktem warto zwrócić uwagę na notację kwantową i Q# język programowania: początek tego dokumentu wspomniał, że stan kwantowy jest podstawowym obiektem informacji w obliczeniach kwantowych. Może to być zaskoczeniem, że w Q# żadnym z pojęć stanu kwantowego. Zamiast tego wszystkie stany są opisywane tylko przez operacje używane do ich przygotowania. Poprzedni przykład to doskonała ilustracja. Zamiast wyrażać jednolitą superpozycję dla każdego ciągu bitów kwantowych w rejestrze, możesz przedstawić wynik jako $H^{\otimes n}\ket{0}$. Ten wykładniczo krótszy opis stanu nie tylko ma przewagę, którą można klasycznie rozumować, ale także zwięzłie definiuje operacje potrzebne do propagowania za pośrednictwem stosu oprogramowania w celu zaimplementowania algorytmu. Z tego powodu Q# jest przeznaczony do emitowania sekwencji bramy, a nie stanów kwantowych, jednak na poziomie teoretycznym obie perspektywy są równoważne.