Notacja dirac w obliczeniach kwantowych
Notacja Dirac została zaprojektowana w celu dopasowania do dokładnych potrzeb wyrażania stanów i algebry liniowej w mechaniki kwantowej. Nazwa pochodzi od fizyka Paula Diraca, który opracował notację w 1930 roku. Notacja Dirac to zwięzły i zaawansowany sposób opisywania stanów i operacji kwantowych. Jest on używany w obliczeniach kwantowych do opisywania stanów kwantowych, operacji kwantowych i pomiarów kwantowych.
W tym artykule przedstawiono notację Dirac i pokazano, jak używać jej do opisywania stanów kwantowych i operacji.
Ograniczenia notacji wektorów kolumn
Podczas gdy notacja wektorów kolumn jest powszechna w algebry liniowej, często jest używana w obliczeniach kwantowych, szczególnie w przypadku obsługi wielu kubitów. Na przykład podczas definiowania $\psi$ jako wektora nie jest jawnie jasne, czy $\psi$ jest to wektor wiersza, czy kolumny. W związku z tym, jeśli $\phi$ i $\psi$ są wektorami, jest równie niejasne, czy $\phi\psi$ jest nawet zdefiniowane, ponieważ kształty $\phi$ i $\psi$ mogą być niejasne w kontekście. Poza niejednoznacznością kształtów wektorów, wyrażanie nawet prostych wektorów przy użyciu notacji algebraicznej liniowej może być kłopotliwe. Jeśli na przykład chcesz opisać $stan n-kubitu$, w którym każdy kubit przyjmuje wartość $0$, formalnie należy wyrazić stan jako
$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\otimes\begin{bmatrix}\cdots1 \\ 0 .\end{bmatrix} $$
Ocena tego produktu tensor jest niepraktyczna, ponieważ wektor leży w wykładniczo dużej przestrzeni. W związku z tym notacja ta jest w rzeczywistości najlepszym opisem stanu, który można podać przy użyciu poprzedniej notacji.
Typy wektorów w notacji Dirac
Istnieją dwa typy wektorów w notacji Dirac: wektor biustonosza i wektor ket , tak nazwany, ponieważ podczas łączenia tworzą one braket lub produkt wewnętrzny. Jeśli $\psi$ jest wektorem kolumny, możesz zapisać go w notacji Dirac jako $\ket{\psi}$, gdzie $\ket{\cdot}$ oznacza, że jest to wektor kolumny jednostki, na przykład wektor ket . Podobnie wektor $\psiwiersza ^\dagger$ jest wyrażony jako $\bra{\psi}$. Innymi słowy, $\psi^\dagger$ jest uzyskiwany przez zastosowanie złożonej sprzężenia typu entry-wise do elementów transponowania elementu $\psi$. Notacja biustonosza bezpośrednio oznacza, że $\braket{\psi|\psi}$ jest to wewnętrzny produkt wektora $\psi$ z samą definicją $1$.
Ogólnie rzecz biorąc, jeśli $\psi$ i $\phi$ są wektorami stanu kwantowego, ich wewnętrzny produkt to $\braket{\phi|\psi}$. Ten wewnętrzny produkt oznacza, że prawdopodobieństwo pomiaru stanu $\ket{\psi}$ wynosi $\ket{\phi}$ $|\braket{\phi|\psi}|^2$.
Poniższa konwencja służy do opisywania stanów kwantowych, które kodują wartości zera i jednego (stany podstaw obliczeniowych z jednym kubitem):
$$\begin{bmatrix}1 \\ 0,\begin{bmatrix}\qquad 0 \end{bmatrix}\\\ket{{0}=1 .\end{bmatrix}=\ket{{1} $$
Przykład: reprezentacja operacji Hadamard z notacją Dirac
Poniższa notacja jest często używana do opisywania stanów, które wynikają z zastosowania bramy Hadamard do $\ket{0}$ i $\ket{1}$. Te stany odpowiadają wektorom jednostkowym w $kierunkach +x$ i $-x$ w sferze Bloch:
$$\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix}1 1 \\ \end{bmatrix}=H\ket{=\ket{0}+},\qquad\frac{1}{\sqrt{{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1=\end{bmatrix} H .\ket{{1}=\ket{{-} $$
Te stany można również rozszerzyć przy użyciu notacji Dirac jako sum i $\ket{0}$ $\ket{1}$:
$$\ket{+}={1}{\sqrt{2}}\frac{(\ket{0} + \ket{1}),\qquad\frac{={1}{\sqrt{\ket{{2}}{-}(\ket{{0} - ). \ket{1} $$
Wektory obliczeniowe
Pokazuje to, dlaczego te stany są często nazywane bazą obliczeniową: każdy stan kwantowy zawsze może być wyrażony jako sumy wektorów bazowych obliczeniowych, a takie sumy są łatwo wyrażane przy użyciu notacji Dirac. Odwrotnie jest również prawdą w tym, że stany $\ket{+}$ i $\ket{-}$ również stanowią podstawę dla stanów kwantowych. Można to zobaczyć z faktu, że
$$\ket{{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} \ket{-}),=\frac{{1}{\sqrt{{1}\qquad\ket{{2}}(\ket{+} - ). \ket{-} $$
Jako przykład notacji Dirac należy wziąć pod uwagę braket $\braket{0 1}$, który jest produktem wewnętrznym z zakresu od $0 |$ do $1$. Można go zapisać jako
$$\braket{0 | 1 1}=\begin{bmatrix} & 0 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\\ 1\end{bmatrix}=0. $$
W tym przykładzie mówi się, że i $\ket{są wektorami ortogonalowymi, co oznacza, że $\ket{$\braket{{0}$ 0 | 1}\braket{=1 | 0 0}=$.{1}$ Ponadto w definicji $\braket{0 0 |}=\braket{1 1 |}=1$, co oznacza, że dwa wektory obliczeniowe mogą być również nazywane ortonormalami.
Te właściwości ortonormalne są używane w poniższym przykładzie. Jeśli masz stan $\ket{\psi}{\frac{3}{5}}={1}\ket{+\ket{0}${4}{5}}{\frac{ , to ponieważ $\braket{1 | 0 0=$} prawdopodobieństwo pomiaru $1 wynosi$
$$\big|\braket{1 |^2={3}{5}\braket{\left|\frac{1 1} | +{4}{5}\braket{\frac{1 | 0}\right|^2.=\frac{{9}{{25}\psi}\big| $$
Notacja produktu Tensor
Notacja dirac obejmuje również niejawną strukturę produktu tensor. Ta struktura jest ważna, ponieważ w obliczeniach kwantowych wektor stanu opisany przez dwa niekorrelowane rejestry kwantowe są produktami tensorowymi dwóch wektorów stanu. Zwięzłe opisywanie struktury produktu tensor lub jego brak jest niezbędne, jeśli chcesz wyjaśnić obliczenia kwantowe. Struktura produktu tensor oznacza, że można napisać $\psi\otimes\phi$ dla dowolnych dwóch wektorów $\phi$ stanu kwantowego i $\psi$ jako .$\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$ Jednak przez konwencję zapisu $\otimes$ między wektorami jest niepotrzebne i można napisać\phi}=$$\ket{\psi}\ket{\phi}\ket{\psi . Aby uzyskać więcej informacji na temat wektorów i produktów tensorowych, zobacz Vectors and Matrices in Quantum Computing (Wektory i macierze w obliczeniach kwantowych). Na przykład stan z dwoma kubitami zainicjowanymi do stanu zera to:
$$\ket{0}\otimes\ket{0}=\ket{{0}\ket{{0}=\ket{{00}=\begin{bmatrix}1 \\ 0 1 \\ 0 \end{bmatrix}=\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 \\ 0 0 \\ \\ 0 .\end{bmatrix} $$
Podobnie stan p dla liczby całkowitej $p$}$ reprezentuje stan $\ket{kwantowy, który koduje liczbę całkowitą $p$ w reprezentacji binarnej. Jeśli na przykład chcesz wyrazić liczbę $5$ przy użyciu niepodpisanego kodowania binarnego, możesz je również wyrazić jako
$$\ket{1}\ket{0}\ket{1}=\ket{101}=\ket{5}. $$
W tej notacji nie należy odwoływać się do stanu pojedynczego kubitu, $\ket{0}$ ale raczej do rejestru kubitów, który przechowuje kodowanie $binarne 0$. Różnice między tymi dwoma notacjami są jasne w kontekście. Ta konwencja jest przydatna do uproszczenia pierwszego przykładu, który można napisać w dowolny z następujących sposobów:
$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 1 \\ 0 \end{bmatrix}\otimes\cdots\otimes\begin{bmatrix}0\cdots\ket{{0}\otimes|\otimes\ket{0}==\end{bmatrix} 0\cdots=\ket{\rangle{0}^ n{\otimes}$$
gdzie $\ket{0}^{\otimes n}$ reprezentuje produkt tensorowy $n$$\ket{0}$ stanów kwantowych.
Przykład: Opisywanie superpozycji za pomocą notacji Dirac
W innym przykładzie sposobu używania notacji Dirac do opisywania stanu kwantowego należy wziąć pod uwagę następujące równoważne sposoby pisania stanu kwantowego, który jest równym superpozycją dla każdego możliwego ciągu bitowego długości $n$
$$H^ n}\ket{0}\frac{1}{=2^{\otimes{n/2_{j=0}^2\sum}}^{n-1\ket{}j}=\ket{+}^{\otimes n.} $$
W tym miejscu możesz się zastanawiać, dlaczego suma idzie z zakresu od $0$ do $2^{n-1}$ dla $n$ bitów. Najpierw należy pamiętać, że istnieje $2^{n}$ różnych konfiguracji, które $n$ bitów może potrwać. Można to zobaczyć, zauważając, że jeden bit może przyjmować 2$ wartości, ale dwa bity mogą przyjmować $$4$ wartości i tak dalej. Ogólnie rzecz biorąc, oznacza to, że istnieją $2^n$ różne możliwe ciągi bitowe, ale największa wartość zakodowana w każdym z nich $1 1=\cdots 2^n-1$, dlatego jest to górny limit dla sumy. Uwaga po stronie, w tym przykładzie nie użyto $\ket{+}^{\otimes n}=\ket{+}$ w analogii do{0}$\ket{ ^{\otimes n{0}$}=\ket{. Ta konwencja notacyjna jest zarezerwowana dla stanu podstawy obliczeniowej z każdym kubitem zainicjowanym do zera. Chociaż taka konwencja jest rozsądna w tym przypadku, nie jest ona stosowana w literaturze kwantowej.
Express linearity with Dirac notation (Express linearity with Dirac notation)
Inną cechą notacji Dirac jest fakt, że jest liniowy. Na przykład dla dwóch liczb $\alpha$ zespolonych i $\beta$, można napisać
$$\ket{\psi}\otimes( \alpha\ket{\phi} + \chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\beta\ket{\chi}.$$
Oznacza to, że można dystrybuować notację produktu tensor w notacji Dirac, tak aby przyjmowanie produktów tensorowych między wektorami stanu wyglądało tak samo jak zwykłe mnożenie.
Wektory biustonosza są zgodne z podobną konwencją do wektorów ket. Na przykład wektor jest odpowiednikiem wektora $\bra{\psi}\bra{\phi}$ $\psistanu ^\dagger\otimes\phi^\dagger=(\psi\otimes\phi)^\dagger$. Jeśli wektor $\ket{\psi}$ ket ma wartość $\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$, wówczas wersja wektora biustonosza to $\bra{\psi}=\ket{\psi}^ (\bra{{0}\alpha^\dagger=* +\bra{1}\beta^*)$.
Załóżmy na przykład, że chcesz obliczyć prawdopodobieństwo pomiaru stanu $\ket{\psi}=\ket{\frac{3}{5}{1} + \frac{4}{5}\ket{0}$ przy użyciu programu kwantowego do pomiaru stanów jako $\ket{+}$ lub .$\ket{{-}$ Następnie prawdopodobieństwo, że urządzenie wyświetli dane wyjściowe, że stan to $\ket{-}$
$$|\braket{- ^2{2}}{1}{\sqrt{\left|\frac{=(\bra{0} - |\psi}|{1}\bra{)(\frac{3}{5}{1}\ket{ +\ket{0}\frac{{4}{5} ) \right|^2-5=\left|\frac{3}{ + \frac{{4}{5{2}}\sqrt{2}}\right|\sqrt{^2.=\frac{{1}{{50}$$
Fakt, że znak ujemny pojawia się w obliczeniu prawdopodobieństwa, jest objawem interferencji kwantowej, która jest jednym z mechanizmów, za pomocą których obliczenia kwantowe zyskują przewagę nad obliczeniami klasycznymi.
ketbra lub produkt zewnętrzny
Ostatnim elementem, który warto omówić w notacji Dirac, jest ketbra lub produkt zewnętrzny. Produkt zewnętrzny jest reprezentowany w notacji Dirac jako $\ket{\psi}\bra{\phi}$, a czasami nazywane ketbras, ponieważ biustonosze i furtki występują w odwrotnej kolejności jako brakets. Produkt zewnętrzny jest definiowany za pomocą mnożenia macierzy jako $\ket{\psi}\phi=\bra{\phi}\psi^\dagger$ dla wektorów $\psi$ stanu kwantowego i .$\phi$ Najprostszym i prawdopodobnie najbardziej typowym przykładem tej notacji jest
$$\ket{0}\bra{{0}=\begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 0\\ & 0 0\end{bmatrix}=\ket{1}\qquad\begin{bmatrix}\\\bra{1} 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 0\\ & 1\end{bmatrix}. $$
Ketbras są często nazywane projektorami, ponieważ projektują stan kwantowy na stałą wartość. Ponieważ te operacje nie są unitarne (i nawet nie zachowują normy wektora), komputer kwantowy nie może deterministycznie zastosować projektora. Jednak projektory wykonują piękną pracę opisywania akcji, która ma pomiar w stanie kwantowym. Jeśli na przykład zmierzysz stan 0$, wynikowa transformacja, której stan $\ket{\psi}$ $występuje w wyniku pomiaru, to
$$\ket{\psi}\rightstrzałka \frac{(\ket{{0}{0}\bra{)\ket{\psi}}{|\braket{0 ,|\psi}|}=\ket{{0}$$
jak można oczekiwać w przypadku zmierzenia stanu i znalezienia go jako $\ket{0}$. Aby powtórzyć, takie projektory nie mogą być stosowane w stanie w komputerze kwantowym deterministycznie. Zamiast tego można je w najlepszym razie zastosować losowo, a wynik $\ket{0}$ pojawia się z pewnym stałym prawdopodobieństwem. Prawdopodobieństwo pomyślnego pomiaru można zapisać jako oczekiwaną wartość projektora kwantowego w stanie
$$\bra{\psi}(\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}|=|\braket{\psi 0}|^2,$$
co ilustruje, że projektory dają nowy sposób wyrażania procesu pomiaru.
Jeśli zamiast tego rozważysz pomiar pierwszego kubitu stanu wielu kubitów na $1$, możesz również opisać ten proces wygodnie przy użyciu projektorów i notacji Dirac:
$$P(\text{pierwszy kubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$
Tutaj macierz tożsamości może być wygodnie napisana w notacji Dirac jako
$$\mathbb{I}{0}=\ket{\bra{0}+\ket{\bra{1}={1}\begin{bmatrix}1& 0 0\\& amp; 1 \end{bmatrix}. $$
W przypadku, gdy istnieją dwa kubity, projektor można rozszerzyć jako
$$\ket{1}\bra{1}\otimes\mathbb{I}\ket{\otimes={1}\bra{1} (\ket{0}\bra{0}+\ket{1}{1}\bra{)={10}\ket{10}\bra{ + . \ket{{11}\bra{{11} $$
Następnie można zobaczyć, że jest to zgodne z dyskusją na temat prawdopodobieństwa pomiaru dla stanów wielokątnych przy użyciu notacji wektorów kolumn:
$$P(\text{pierwszy kubit = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{11}{e_{{11}^\dagger)\psi|=e_{{10}^\dagger\psi|2 + |e_{11}^\dagger\psi|2,$$
który jest zgodny z dyskusją pomiarów z wieloma kubitami. Uogólnienie tego wyniku do przypadku z wieloma kubitami jest jednak nieco bardziej proste do wyrażenia przy użyciu notacji Dirac niż notacja wektorów kolumnowych i jest całkowicie równoważne poprzedniemu leczeniu.
Operatory gęstości
Innym przydatnym operatorem do wyrażania przy użyciu notacji Dirac jest operator gęstości, czasami znany również jako operator stanu. Jako wektor stanu kwantowego operator gęstości opisuje stan kwantowy systemu. Chociaż wektory stanu kwantowego mogą reprezentować tylko czyste stany, operatory gęstości mogą również reprezentować stany mieszane.
Ogólnie rzecz biorąc, dana macierz $\rho$ jest prawidłowym operatorem gęstości, jeśli spełnione są następujące warunki:
- $\rho$ jest macierzą liczb zespolonych
- $\rho = \rho^{\dagger}$ (czyli $\rho$ jest Hermitian)
- Każda wartość eigenvalue $p$ $\rho$ jest nieujemna
- Wszystkie wartości eigenów $\rho$ sum do 1
Razem te warunki gwarantują, że $\rho$ można traktować jako zespół. Operator gęstości dla wektora $\ket{\psi}$ stanu kwantowego przyjmuje formę $\rho =\sum_i p_i _i\bra{\psi}\ket{\psi_i}$ jest dekompozycją $eigenvalue \rho, a następnie $\rho$ opisuje zespół $\rho\ket{\psi$={ _i\text{}z prawdopodobieństwem} p_i .}$
Czyste stany kwantowe to te, które charakteryzują się pojedynczym wektorem ket lub funkcją falową i nie mogą być zapisywane jako mieszanina statystyczna (lub kombinacja wypukłych) innych stanów kwantowych. Mieszany stan kwantowy to statystyczny zespół czystych stanów.
Na sferze Bloch czyste stany są reprezentowane przez punkt na powierzchni sfery, podczas gdy stany mieszane są reprezentowane przez punkt wewnętrzny. Mieszany stan pojedynczego kubitu jest reprezentowany przez środek sfery, przez symetrię. Czystość stanu można wizualizować jako stopień, w którym znajduje się blisko powierzchni sfery.
Ta koncepcja reprezentowania stanu jako macierzy, a nie wektora, jest często wygodna, ponieważ daje wygodny sposób reprezentowania obliczeń prawdopodobieństwa, a także pozwala opisać zarówno niepewność statystyczną, jak i niepewność kwantową w ramach tego samego formalizmu.
Operator $gęstości \rho$ reprezentuje czysty stan, jeśli i tylko wtedy, gdy:
- $\rho$ można zapisać jako zewnętrzny iloczyn wektora stanu, $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$
- $\rho =\rho^2$
- $tr(\rho^2)=1$
Aby określić, jak blisko danego operatora $gęstości \rho$ ma być czysty, możesz przyjrzeć się śladowi (czyli sumie ukośnych elementów) $\rho^2$. Operator gęstości reprezentuje czysty stan, jeśli i tylko wtedy, gdy $tr(\rho ^{2})=1$.
Q# sekwencje bramy równoważne stanom kwantowym
Ostatnim punktem warto zwrócić uwagę na notację kwantową i Q# język programowania: początek tego dokumentu wspomniał, że stan kwantowy jest podstawowym obiektem informacji w obliczeniach kwantowych. Może to być zaskoczeniem, że w Q# żadnym z pojęć stanu kwantowego. Zamiast tego wszystkie stany są opisywane tylko przez operacje używane do ich przygotowania. Poprzedni przykład to doskonała ilustracja. Zamiast wyrażać jednolitą superpozycję dla każdego ciągu bitów kwantowych w rejestrze, możesz przedstawić wynik jako $H^{\otimes n}\ket{0}$. Ten wykładniczo krótszy opis stanu nie tylko ma przewagę, którą można klasycznie rozumować, ale także zwięzłie definiuje operacje potrzebne do propagowania za pośrednictwem stosu oprogramowania w celu zaimplementowania algorytmu. Z tego powodu Q# jest przeznaczony do emitowania sekwencji bramy, a nie stanów kwantowych, jednak na poziomie teoretycznym obie perspektywy są równoważne.