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量子关系图约定

项目
01/16/2025

有时，在线路图中，量子算法比在等效的书面矩阵表示形式中更容易理解。本文介绍如何读取量子线路图及其约定。

有关详细信息，请参阅如何可视化量子线路图。

读取量子线路图

在量子线路中，时间按从左到右的顺序流动。量子门按时间顺序排列，最左侧的门是应用于量子比特的第一个门。

以以下量子线路图为例：

具有两个寄存器的量子线路示意图，一个有 hadamard 门，一个受控门和一个测量。

量子比特寄存器：量子比特寄存器显示为水平线，每一行表示量子比特。上行是标记为 0 的量子比特寄存器，第二行是标记为 1 的量子位寄存器，依此表示。
量子门：量子运算由 量子门表示。术语“量子门”类似于经典逻辑门。作用于一个或多个量子比特寄存器的门用一个框表示。在此示例中，符号表示 Hadamard 操作。
受控门：受控门对两个或多个量子比特执行操作。在此示例中，符号表示 CNOT 门。黑色圆表示控制量子比特，圆圈内的十字架表示 target 量子比特。
度量操作：计量符号表示度量操作。测量操作采用量子比特寄存器作为输入和输出经典信息。

应用量子门

由于时间从左向右流动，因此首先应用最左侧的门，因此以下量子线路的操作是单一矩阵 $CBA$。

量子门在量子线路中从左向右应用的关系图。

注意

矩阵乘法遵守相反的约定，即最先应用最右侧的矩阵。不过，在量子线路图中，最先应用的是最左侧的门。这种差异有时可能会导致混淆，因此有必要记下线性代数表示法和量子关系图之间的这一明显差异。

量子线路的输入和输出

在量子线路图中，进入量子门的线路表示输入到量子门的量子比特，退出量子门的线路表示从量子门输出的量子比特。

量子门的输入数等于量子门的输出数。这是因为量子运算是统一的，因此是可逆的。如果量子门的输出多于输入，它就不可逆，因此不是统一的，这是矛盾。

因此，对于线路图中绘制的任何框，进入该框的线数和离开该框的线数必须完全相等。

多量子比特操作

多量子比特线路图遵守与单量子比特线路图类似的约定。例如，可以将双量子比特单位运算 $B$ 定义为 $（H S\otimes X），$因此等效的量子线路如下：

双量子比特单一运算的线路图。

根据使用线路的场景，我们还可将 $B$ 看作是操作一个双量子比特寄存器，而不是操作两个单量子比特寄存器。

或许这类抽象线路图最有用的性质是，可通过它们大致描述复杂的量子算法，而不必细致编制到描绘出基础的量子门。这意味着你可直观地查看大型量子算法的数据流，无需理解有关算法中每个子例程如何工作的所有细节。

受控门

量子控制门是两个量子比特门，如果控制量子比特处于特定状态，则向量子比特应用单量子比特门 target 。

例如，考虑量子控制门，表示 $\Lambda（G）$，其中单个量子比特的值控制 $G$ 运算的应用。可以通过查看产品状态输入的以下示例来理解受控门 $\Lambda（G$ ）：

$$\Lambda(G) (\alpha\ket{{0} + \beta\ket{1}) \ket{\psi}=\alpha\ket{{0}\ket{\psi} + \beta\ket{{1} G\ket{\psi}$$

也就是说，受控门将 $G$ 应用于包含 $\psi$ 的寄存器（当且仅当控制量子位取值 $1$ 时）。一般情况下，此类受控操作按以下符号在线路图中描述：

单声控制的门的线路图。

在这里，黑色圆圈表示门受控的量子位，垂直线表示当控制量子比特采用值 $1$ 时应用的酉操作。

对于 G X$ 和 =G$$Z= 的特殊情况$，以下表示法用于描述入口的受控版本（请注意，受控 X 门是 CNOT 门）：

受控门的特殊情况的线路图。

Q# 提供了方法来自动生成操作的受控版本，这让程序员不必再手动编码这些操作。下面是它的一个示例：

operation PrepareSuperposition(qubit : Qubit) : Unit
is Ctl { // Auto-generate the controlled specialization of the operation
    H(qubit);
}

经典控制的门

量子门也可以在测量后应用，其中度量结果充当经典控制位。

以下符号表示经典控制的门，其中 $G$ 在经典控制位上应用条件为值 $1$：

表示受控操作的线路图。

测量运算符

测量操作采用量子位寄存器、度量值，并将结果输出为经典信息。

测量操作由计量符号表示，它始终将输入看做是一个量子比特寄存器（表示为实线），将输出看做是经典信息（表示为双线）。具体而言，度量操作的符号如下所示：

表示度量操作的符号。

在中 Q#， Measure 运算符实现度量运算。

示例：酉变换

考虑单元转换 $\text{CNOT}_{01}(H\otimes 1)$。这种门序列对量子计算来说至关重要，因为它会创建一个最大纠缠的双量子比特态：

$\text{CNOT}_{01}(H\otimes 1)\ket{00}=\frac{1}{\sqrt{2}} (\ket{{00} + \ket{11})$

在量子算法和量子纠错中，普遍存在这种复杂程度或更复杂的操作。

显示准备这种最大纠缠的量子态的线路图为：

最大纠缠双量子位状态的线路图。

Hadamard 门后面的符号表示 CNOT 门，其中黑色圆表示控制量子比特，圆内的十字架表示 target 量子比特。此量子线路作用于两个量子比特（或等效为作用于两个寄存器，每个寄存器由一个量子比特组成）。

示例：Teleportation 线路图

量子传送是演示线路组件的最佳量子算法之一。

量子传送是一种协议，允许量子状态从一个量子比特传输到另一个量子位，同时在发送方和接收方之间共享纠缠状态，以及它们之间的经典通信。

出于学习目的，发送方称为 Alice，接收方称为 Bob，要传送的量子位称为消息量子比特。 Alice 和 Bob 各保留一个量子比特，Alice 有一个额外的量子比特，即消息量子比特。

以下线路图演示了传送协议：

传送协议的量子线路示意图。

我们来细分传送协议的步骤：

量子比特寄存器 q0 是消息量子比特，量子比特寄存器 q1 是 Alice 的量子比特，量子比特寄存器 q2 是 Bob 的量子比特。消息量子比特处于未知状态，Alice 和 Bob 的量子比特处于 $\ket{0}$ 状态。
Hadamard 门应用于 Alice 的量子比特。由于量子比特处于 $\ket{0}$ 状态，因此生成的状态为 $\frac{1}{\sqrt{{2}}（\ket{{0} + \ket{1}）$ 。
CNOT 门应用于 Alice 和 Bob 的量子位。 Alice 的量子比特是控制量子比特，Bob 的量子比特是 target 量子比特。结果状态为 $\frac{{1}{\sqrt{2}}（\ket{00} + \ket{{11}）$。 Alice 和 Bob 现在共享纠缠的状态。
CNOT 门应用于消息量子比特和 Alice 的量子比特。由于 Alice 的量子比特也与 Bob 的量子比特纠缠，因此生成的状态是三量子位纠缠状态。
Hadamard 门应用于消息量子比特。
Alice 测量她的两个量子位，并将测量结果告知 Bob，这不会反映在线路中。度量结果是两个经典位，可取值 00、01、10 或 11。
两个经典控制的 Pauli 门 X 和 Z 将 应用于 Bob 的量子比特，具体取决于结果位为值 $1$。生成的状态是原始消息量子比特状态。

通过

量子关系图约定