エンタングルメントと相関関係
エンタングルメントは、量子システム間の量子相関を記述する量子力学の基本的な概念です。 2 つ以上の量子ビットが絡み合っている場合、1 つの量子ビットの状態は、離れている場合でも、もう一方の量子ビットの状態に依存します。 この量子相関は、古典的な対応するものがない量子システムの固有の特徴です。
この記事では、エンタングルメント、相関関係の概要について説明し、量子ゲートを使用してエンタングルメントを作成する方法について説明します。
もつれとは
$A$ と $B$ の 2 つの量子ビットがあるとします。 量子ビットは互いに独立しています。つまり、量子ビット $A$ の状態に関する情報は、それが何であれ、量子ビット $A$ にのみ属します。 同様に、量子ビット $B$ の状態に関する情報は、量子ビット $B$ に属します。 この場合、量子ビットは、状態に関する情報を共有していないため、絡み合いません。
ここで、量子ビットに絡み付くとします。 量子ビット $A$ と $B$ が絡み合っている場合、量子ビット $A$ の状態に関する情報は、量子ビット $B$ の状態に依存しません。 絡み合うと、両方の量子ビット間で情報が共有され、量子ビット $A$ または量子ビット $B$の状態を知る方法はありません。 記述できるのはグローバル システムの状態のみで、個々の量子ビットの状態は記述できません。
もつれとは、2 つ以上の粒子間の量子相関です。 2 つのパーティクルが絡み合っている場合は、独立して記述することはできませんが、システム全体としてのみ記述できます。
2 つ以上のパーティクルは、大きな距離で分離されていても絡み合うことができます。 この相関関係はどの古典的な相関関係よりも強く、量子テレポーテーション、量子暗号化、量子コンピューティングなどの量子情報処理タスクの重要なリソースです。 エンタングルメントを使用して量子ビットをテレポートする方法については、Azure Quantum トレーニング パスのこのモジュール 確認してください。
Note
エンタングルメントは、単一の量子ビットではなく、マルチ量子ビット システムのプロパティです。 つまり、1 つの量子ビットを絡めることはできません。
量子システムでのエンタングルメントの定義
グローバル システム $\ket{\phi}$ で次の状態にある 2 つの量子ビット $A$ と $B$ を考えてみます。
$$\ket{\phi}=\frac1{\sqrt2}(\ket{0_A 0_B}+ \ket{1_A 1_B})$$
Note
Dirac 表記では、$\ket{0_A 0_B}=|0\rangle_\text{A}|0\rangle_\text{B}$。 最初の位置が最初の量子ビットに対応し、2 番めの位置が 2 番めの量子ビットに対応します。
グローバル システム $\ket{\phi}$ は、状態 $|00\rangle$ と $|11\rangle$ の重ね合わせです。 しかし、量子ビット $A$ の個別の状態は何でしょうか。 そして、量子ビット $B$ はどうでしょうか。 量子ビット $B$ の状態を考慮せずに量子ビット $A$ の状態を記述しようとすると、失敗します。 サブシステム $A$ と $B$ は絡み合っており、個別に記述することはできません。
両方の量子ビットを測定する場合は、 $\ket{{00}$ と $\ket{{11}$の 2 つの結果のみが可能であり、それぞれ同じ確率で $\frac{1}{{2}$。 状態 $|01\rangle$ および $|10\rangle$ を取得する確率は 0 です。
しかし、1 つの量子ビットのみを測定するとどうなるでしょうか。 2つの粒子が絡み合うと、測定結果も相関する。 つまり、絡み合ったペアの 1 つの量子ビットの状態に対してどのような操作が行われるとしても、もう一方の量子ビットの状態にも影響します。
量子ビット $A$ のみを測定して、$|0\rangle$ 状態を取得した場合、グローバル システムが状態 $\ket{00}$ に崩れたことになります。 $|01\rangle$ を測定する確率はゼロであるため、これが唯一可能な結果です。 そのため、量子ビット $B を測定せずに$ 2 番目の量子ビットも $|0\rangle$ 状態であることを確認できます。 量子ビットがもつれているため、測定結果に相関関係があります。
量子状態 $\ket{\phi}$ は、 Bell 状態と呼ばれます。 ベルの状態は 4 つあります。
$$\ket{\phi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{00} + \frac1{\sqrt2}\ket{{11}$$$$\ket{\phi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{00} - \frac1{\sqrt2}\ket{11}$$$$\ket{\psi^{+}}=\frac1{\sqrt2}\ket{{01} + \frac1{\sqrt2}\ket{{10}$$$$\ket{\psi^{-}}=\frac1{\sqrt2}\ket{01} - \frac1{\sqrt2}\ket{10}$$
Note
この例では 2 つの量子ビットを使用しますが、量子エンタングルメントは 2 つの量子ビットに限定されません。 一般に、複数の量子ビット システムがエンタングルメントを共有している可能性があります。
量子演算を使用したエンタングルメントの作成
量子演算を使用して、量子エンタングルメントを作成できます。 状態 $|00 の 2 つの量子ビットにエンタングルメントを作成する最も一般的な方法の 1 つは\rangle$ Hadmard 操作 $H$ と制御 NOT 操作 $CNOT を適用することです$ それらを Bell 状態に変換する $\ket{\phi^+}=\frac1{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$。
$CNOT$演算は入力として 2 つの量子ビットを受け取り、1 つは制御量子ビットとして機能し、もう 1 つはターゲット量子ビットです。 CNOT演算は、制御量子ビットの状態が$|1\rangle$場合にのみ、ターゲット量子ビットの状態を反転します。
| 入力 | 出力 |
|---|---|
| $\ket{00}$ | $\ket{00}$ |
| $\ket{01}$ | $\ket{01}$ |
| $\ket{10}$ | $\ket{11}$ |
| $\ket{11}$ | $\ket{10}$ |
その仕組みを次に示します。
状態 $|00\rangle$ の 2 つの量子ビットを使用します。 最初の量子ビットは制御量子ビット、2 番目の量子ビットはターゲット量子ビットです。
$H$ を適用して、制御量子ビットにのみ重ね合わせ状態を作成します。
$$H |0_c\rangle=\frac{1}{\sqrt{{2}}(|0_c\rangle+|1_c\rangle)$$
Note
下付き文字 ${}_c$ し、コントロールとターゲット量子ビットを指定 ${}_t$ 。
$CNOT$演算子を、重ね合わせ状態の制御量子ビットと、$|0_t\rangle$状態にあるターゲット量子ビットに適用します。
$$ CNOT \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{0_c}+\ket{1_c})\ket{0}_t = CNOT \frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+|\ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{{1}{\sqrt2}(CNOT \ket{0_c 0_t} + CNOT \ket{1_c 0_t})=$$$$=\frac{1}{\sqrt2}(\ket{0_c 0_t}+\ket{1_c 1_t})$$
ヒント
Q#で 2 つの量子ビットをエンタングルする方法については、「Quickstart: Create your first Q# programを参照してください。
分離可能性と量子エンタングルメント
エンタングルメントは分離性の欠如と見なすことができます。分離できない場合、状態は絡み合います。
量子状態は、サブシステムの製品状態として書き込むことができる場合は分離可能です。 つまり、状態 $\ket{\phi}{\text{AB}}$ は、サブシステムの製品状態 ( $\ket{\phi}{\text{AB}}=\ket{a}_A \otimes\ket{b}_B$ の組み合わせとして書き込むことができる場合に分離可能です。
純粋な状態でのエンタングルメント
純粋量子状態は、状態 $\ket{ +}=\frac{{1}{\sqrt{{2}}(\ket{0} + \ket{1})$など、1 つの ket ベクトルです。
純粋な状態は、他の量子状態の統計的混合物 (または convex の組み合わせ) として記述することはできません。
ブロック球では純粋な状態は球の表面上の点で表され、混合状態は内部点で表されます。
pure state$\ket{\phi}{AB}$ は、サブシステムの製品状態 ($\ket{\phi}{AB}=\ket{a}_A \otimes\ket{b}_B$ の組み合わせとして書き込むことができない場合に絡み合います。
たとえば、状態 $$\ket{\psi}_{AB}=\frac{{1}{2} (\ket{{00} + \ket{{10} +\ket{01} +\ket{{11}) について考えてみます。$$
最初は、状態 $\ket{\psi}_{AB}$ は製品の状態とは見えませんが、状態を次のように書き換える場合
$$\ket{\psi}_{AB}=\frac{{1}{\sqrt{{2}} (\ket{0}_A +\ket{{1}_A) \otimes\frac{1}{\sqrt{{2}} (\ket{{0}_B +\ket{{1}_B)=\ket{+}_A \ket{+}_B$$
状態 $\ket{\psi}_{\text{AB}}$ は製品の状態であるため、絡み合いません。
混在状態でのエンタングルメント
混合量子状態は、純粋な状態の統計的アンサンブルです。 混合状態を記述するには、ket 表記ではなく、密度マトリックス $\rho$ を使用する方が簡単です。
混合状態 $\rho$ は、サブシステムの製品状態の convexの組み合わせ として書き込むことができる場合に分離可能です(例:
$$\rho =\sum_j p_j \rho^{A}_j \otimes \rho^{B}_j$$
$p_j \geq 0、\sum p_j = 1$、$\rho^{A}_j \geq 0、\rho^{B}_j \geq 0$。
詳細については、「 Density マトリックス」を参照してください。
混合状態 $\rho$ は、分離できない場合、つまり製品状態の凸の組み合わせとして書き込むことができない場合に絡み合います。
Note
- $\rho$が純粋な場合、量子相関のみが含まれます。
- $\rho$が混在している場合は、古典的な相関関係と量子相関の両方が含まれます。
古典的な相関関係について
古典的な相関関係は、システムの状態に関する知識がないためです。 つまり、古典的な相関関係に関連するランダム性がありますが、知識を得ることで排除できます。
たとえば、それぞれ 1 つのボールを含む 2 つのボックスについて考えてみます。 両方のボールが同じ色(青または赤)であることを知っている。 1 つのボックスを開き、内側のボールが青である場合は、もう 1 つのボールも青であることがわかります。 したがって、それらは相関しています。 しかし、箱を開くときに私たちが持っている不確実性は、知識の欠如によるものですが、それは基本的ではありません。 ボールは箱を開く前に青かった。 したがって、これは古典的な相関関係であり、量子相関ではありません。
2 つのボックス $\rho_{ ボックスによって形成されるシステムの混合量子状態}$ は次のように書き込むことができます。
$$ \rho_{boxes}=\frac{{1}{2} (\ket{red}\bra{red}_{A}\otimes\ket{red}\bra{red}_B) +\frac{{1}{2} (\ket{blue}\bra{blue}_A \otimes\ket{blue}\bra{blue}_B) $$
状態 $\rho_{ボックス}$ は分離可能であり、 $p_1 = p_2 =\frac{1}{2}$ には古典的な相関関係のみが含まれていることに注意してください。 混合分離可能な状態のもう 1 つの例は、次のようになります。
$$ \rho =\frac{{1}{2} (\ket{0}\bra{{0}_A \otimes\ket{0}\bra{0}_B) +\frac{1}{2} (\ket{1}\bra{1}_A \otimes\ket{{1}\bra{{1}_B) $$
次に、次の状態を検討します。
$$ \rho =\frac{{1}{4} (\ket{{00}\bra{00} + \ket{{00}\bra{11} + \ket{11}\bra{00} + \ket{{11}\bra{{11}) =\ket{\phi^+}\bra{\phi^+}$$
この場合、状態に関する知識は完全であり、システム $AB$ がベル状態 $\ket{\phi^+}$ であり、 $\rho$ が純粋な状態であることを最大限確実に知っています。 したがって、古典的な相関関係はありません。 ただし、サブシステム $A$ で観測可能な値を測定すると、サブシステム $B$ の状態に関する情報を提供するランダムな結果が得られます。 このランダム性は基本的なものです。つまり、これらは量子相関です。
古典的相関関係と量子相関の両方を含む量子状態の例を次に示します。
$$ \rho =\frac{{1}{2} (\ket{\phi^+}\bra{\phi^+} + \ket{\phi^-}\bra{\phi^-})$$
Note
分離可能な状態には、古典的な相関関係のみが含まれます。