Dirac 標記法和運算子
在上一個單元中，您已了解如何在 Bloch 球體中代表迭加。 但量子運算需要線性代數和量子力學才能了解。 如何以容易理解和使用的方式撰寫疊加和量子狀態?
在本單元中，您將了解撰寫量子狀態的方便表示法: Dirac bra-ket 表示法。
什麼是狄拉克 (Dirac bra-ket) 標記法？
Dirac bra-ket 標記法或 Dirac 標記法較為簡短，是一種速記標記法，可簡化撰寫量子狀態和計算線性代數。 在此標記法中，量子系統的可能狀態是使用稱為 kets 的符號來描述，其看起來像這個 $| \rangle$。
例如，$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 分別代表量子的 0 和 1 狀態。
狀態 $|\psi\rangle = |0\rangle$ 中的量子位元表示當您測量量子位元時觀察到 0 的機率為 100%。 同樣地，如果您在狀態 $|\psi\rangle =|1\rangle$ 測量量子位元，則一律會得到 1。
例如，疊加中的量子位元可以撰寫為 $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$。 此狀態是 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 狀態的疊加。 測量 0 的機率是 $\frac12$，而測量 1 的機率也是 $\frac12$。
什麼是量子運算子？
量子運算涉及操作量子狀態以執行計算。 「量子運算子」是將量子系統狀態轉換成另一個狀態的函式。 例如，您可以藉由套用 X 運算子，將 $|0\rangle$ 狀態轉換成 $|1\rangle$ 狀態。
$$X |0\rangle = |1\rangle$$
X 運算子也稱為 Pauli-X 閘。 這是可翻轉量子位元狀態的基本量子作業。 有三個 Pauli 閘：X、Y 和 Z。 每個閘或運算子都會對量子位元狀態產生特定影響。
| 操作員 | 對 $\ket{0}$ 的影響 | 對 $\ket{1}$ 的影響 |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| Y | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
注意
有時候您可能會讀到或聽到「量子閘道」一詞，而不是「量子作業」。 「量子閘」一詞是類似傳統邏輯閘。 其根植於量子計算的早期，當量子演算法視覺化為類似於傳統計算中電路圖的圖表時。
您可以使用運算子將量子位元置於疊加中。 Hadamard 運算子 H，將狀態為 $|0\rangle$ 的量子位元放入 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 狀態的疊加。 從數學上來說，這個方程式是
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle.$$
在此情況下，測量每個狀態的機率是 $P(0)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$ and $P(1)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$。 每個狀態都有 50% 的測量機率。 您也可以檢查 $\frac12 + \frac12 = 1$。
測量的意義為何？
在量子力學中，「測量」的概念有許多解讀，但詳細資料已超出此課程模組的範圍。 對於量子運算，您不必擔心。
在本課程模組中，您會透過測量「觀察」量子位元的非正式概念來了解，這會立即將量子疊加塌縮為與 0 和 1 對應的兩個基礎狀態之一。 例如，如果您在狀態 $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$ 中測量量子位元，表示您強制量子位元採用兩個可能狀態的其中一個，且您會以相等的機率觀察到 0 或 1。
若要深入了解量子力學領域的測量及歷來的相關討論，請參閱有關測量問題的維基百科文章。