Dirac 表示法和运算符
上一单元介绍了如何在布洛赫球中表示叠加。 但是，量子计算需要线性代数和量子力学才能理解。 如何以易于理解和使用的方式编写叠加和量子状态？
本单元将介绍用于编写量子态的一种便利表示法：狄拉克符号表示法。
什么是狄拉克符号表示法？
Dirac bra-ket 表示法（简称为 Dirac 表示法）是一种简写表示法，可简化编写量子状态和计算线性代数的过程。 在此表示法中，使用称为 kets 的符号来描述量子系统的可能状态，该符号看起来像这样的 $| \rangle$。
例如，$|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 分别表示量子比特的 0 和 1 状态。
如果量子比特的状态为 $|\psi\rangle = |0\rangle$，表示你在测量量子比特时观察到 0 的概率为 100%。 同样，如果你测量状态为 $|\psi\rangle =|1\rangle$ 的量子比特，你始终会得到 1。
例如，叠加态的量子比特可以编写为 $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$。 此状态是 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 状态的叠加。 测量 0 的概率为 $\frac12$，测量 1 的概率也是 $\frac12$。
什么是量子运算符？
量子计算就是操作量子状态来执行计算。 量子运算符是对量子系统状态进行操作并将其转换为另一种状态的函数。 例如，可以通过应用 X 运算符将 $|0\rangle$ 状态转换为 $|1\rangle$ 状态。
$$X |0\rangle = |1\rangle$$
X 运算符也称为“Pauli-X 门”。 它是一个基本的量子运算，可翻转量子比特的状态。 有三个 Pauli 门：X、Y、Z。 每个门或运算符对量子比特状态有特定的影响。
| 操作员 | 对 $\ket{0}$ 的影响 | 对 $\ket{1}$ 的影响 |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| Y | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
注意
有时，你可能会读到或听到“量子门”这个术语，而不是“量子操作”。 量子门一词是对传统逻辑门的类比。 它源于早期的量子计算时代，那时量子算法以图形（类似于经典计算中的线路图）方式表示。
可以使用运算符将量子比特置于叠加态中。 Hadamard 运算符 H 会将处于 $|0\rangle$ 状态的量子比特置于 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 状态的叠加中。 数学上，此公式为
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle.$$
在这种情况下，测量每个状态的概率为 $P(0)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$ 和 $P(1)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$。 每个状态都有 50% 的概率被测量。 你还可以检查 $\frac12 + \frac12 = 1$ 是否成立。
测量意味着什么？
量子力学中有许多关于测量概念的解释，但相关详情不在本模块的范畴内。 对于量子计算，无需担心这一点。
在本模块中，可将测量理解为“观察”一个量子比特的非正式概念，这会立即将量子叠加折叠为对应于 0 和 1 的两种基本状态之一。 例如，如果你测量状态为 $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$ 的量子比特，这表示你强制量子比特采用两个可能的状态中的一个，并且你观察到 0 或 1 状态的概率相等。
若要在量子力学上下文及其历史论述中详细了解测量，请参阅关于测量问题的维基百科文章。