Medições Pauli de qubit único e multiqubit
Ao trabalhar com Q#o , você descobre que as medições de Pauli são um tipo comum de medição. As medições de Pauli generalizam as medições de base computacional para incluir medidas em outras bases e de paridade entre diferentes qubits. Nesses casos, é comum discutir a medição de um operador Pauli, que é um operador como X,Y,Z ou Z Z, X\otimes X, X Y$, e\otimes assim por diante.\otimes $$ $ Para obter os conceitos básicos da medição quântica, consulte O qubit e múltiplos qubits.
Discutir a medição em termos de operadores de Pauli é comum no subcampo da correção de erros quânticos.
Q# guia segue uma convenção semelhante; Este artigo explica esta visão alternativa das medições.
Gorjeta
Em Q#, os operadores Pauli multiqubit são geralmente representados por matrizes do tipo Pauli[].
Por exemplo, para representar $X \otimes Z \otimes Y$, você pode usar a matriz [PauliX, PauliZ, PauliY].
Antes de se aprofundar nos detalhes de como pensar em uma medição de Pauli, é útil pensar sobre o que medir um único qubit dentro de um computador quântico faz com o estado quântico. Imagine um $estado quântico n-qubit$, então medir um qubit exclui imediatamente metade das possibilidades de 2^n$ em que esse $estado poderia estar. Em outras palavras, a medição projeta o estado quântico em um dos dois meios-espaços. Você pode generalizar a maneira como pensa sobre medição para refletir essa intuição.
Para identificar de forma concisa esses subespaços, é necessária uma linguagem para descrevê-los. Uma maneira de descrever os dois subespaços é especificando-os através de uma matriz que tem apenas dois autovalores únicos, tomados por convenção como $\pm 1$. Para um exemplo simples de descrição de subespaços desta forma, considere $Z$:
$$\begin{\begin{align} Z & =\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}. \end{align} $$
Lendo os elementos diagonais da matriz de Pauli-Z, pode-se$ ver que $Z$ tem dois autovetores, $\ket{0}$ e $\ket{1}$, com autovalores $correspondentes \pm 1$.$
Assim, se uma medição do qubit resulta em Zero (correspondente ao estado $\ket{0}$), sabe-se que o estado do qubit é um $autoestado +1$ do $operador Z$ .
Da mesma forma, se o resultado for One, sabe-se que o estado do qubit é um $autoestado -1$ de $Z$.
Este processo é referido na linguagem das medidas de Pauli como &citação; medir Pauli $Z,quot$&; e é inteiramente equivalente a realizar uma medição de base computacional.
Qualquer $matriz 2\times 2$ que seja uma transformação unitária de $Z$ também satisfaz este critério. Ou seja, pode-se também usar uma matriz $A=U^\dagger Z U$, onde $U$ é qualquer outra matriz unitária, para dar uma matriz que define os dois resultados de uma medição em seus $\pm 1$ autovetores. A notação das medidas de Pauli faz referência a essa equivalência unitária identificando $as medidas X,Y,Z$ como medidas equivalentes que se poderia fazer para obter informações de um qubit. Estas medidas são dadas aqui por conveniência.
| Medição de Pauli | Transformação unitária |
|---|---|
| $Z$ | $\mathbf{1}$ |
| $X$ | $H$ |
| $Y$ | $HS^{\dagger}$ |
Ou seja, usando esta linguagem, &citar; medir $a cota Y$&; é equivalente a aplicar $HS^\dagger$ e depois medir na base computacional, onde S é uma operação quântica intrínseca às vezes chamada de "a; phase gate,& quot; e pode ser simulado usando a matriz unitária
$$\begin{\begin{align}S =1 amp; 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}.&\begin{bmatrix} \end{align} $$
Também é equivalente a aplicar $HS^\dagger$ ao vetor de estado quântico e, em seguida, medir $Z$, de modo que a seguinte operação seja equivalente a Measure([PauliY], [q]):
operation MeasureY(qubit : Qubit) : Result {
mutable result = Zero;
within {
Adjoint S(q);
H(q);
} apply {
set result = M(q);
}
return result;
}
O estado correto é então encontrado através da transformação de volta para a base computacional, o que equivale a aplicar $SH$ ao vetor de estado quântico, no trecho de código, a transformação de volta para a base computacional é tratada automaticamente com o uso do within … apply bloco.
Em Q#, o resultado --- isto é, a informação clássica extraída da interação com o estado--- é dada usando um Result valor $j \in \{\texttt{Zero}, \texttt{One}\}$ indicando se o resultado está no $(-1)^j$ autoespaço do operador de Pauli medido.
Medições de múltiplos qubits
As medições de operadores Pauli multiqubit são definidas de forma semelhante, como visto de:
$$ Z\otimes Z =\begin{bmatrix}1 & &0 amp; &0 amp; \\ 0 0&-1& &0 amp; \\ 0 0& &0 amp;-1& \\ 0 0& &0 amp; &0 amp; 1º\end{bmatrix}. $$
Assim, os produtos tensores de dois operadores de Pauli-Z$$ formam uma matriz composta por dois espaços constituídos por autovalores +$1$ e $-1$. Tal como acontece com o caso de qubit único, ambos constituem um meio espaço, o que significa que metade do espaço vetorial acessível pertence ao $autoespaço +1$ e a outra metade ao $autoespaço -1$ . Em geral, é fácil ver a partir da definição do produto tensor que qualquer produto tensor dos operadores Pauli-Z$$ e a identidade também obedece a isso. Por exemplo,
$$\begin{align}Z \otimes\begin{bmatrix}{1}\mathbf{=1 & 0 amp; 0 & 0 &0 & 1 &\\ amp; 0 amp; 0 & 0 \\ &0 amp; 0 amp; -&1 & 0 \\ 0 & 0 amp; 0 & -&1 .\end{bmatrix} \end{align} $$
Como antes, qualquer transformação unitária de tais matrizes também descreve dois meios-espaços rotulados com $\pm 1$ autovalores. Por exemplo, $X\otimes X = H\otimes H(Z\otimes Z)H\otimes H$ da identidade que $Z=HXH.$ Semelhante ao caso de um qubit, todas as medidas de Pauli de dois qubits podem ser escritas como $U^\dagger (Z\otimes 1) U$ para $4\times 4$ matrizes $unitárias U$. As transformações são enumeradas na tabela a seguir.
Nota
Nesta tabela, $\operatorname{SWAP}$ é usado para indicar a matriz\operatorname{$$\begin{align} SWAP&}amp; =\left(\begin{matriz} 1 & 0 & 0 amp; 0 &0 amp; 0 \\ amp&; 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 amp; 0 & 1 &\end{matriz}\right) \end{align}$$ utilizada para simular o funcionamento SWAPintrínseco.
| Medição de Pauli | Transformação unitária |
|---|---|
| $Z\otimes\mathbf{1}$ | $\mathbf{1}\otimes \mathbf{1}$ |
| $X\otimes\mathbf{1}$ | $H\otimes\mathbf{1}$ |
| $Y\otimes\mathbf{1}$ | $HS^\dagger\otimes\mathbf{1}$ |
| $\mathbf{1}\otimes Z$ | $\operatorname{TROCA}$ |
| $\mathbf{1}\otimes X$ | $(H\otimes\mathbf{1})\operatorname{TROCA}$ |
| $\mathbf{1}\otimes Y$ | $(HS^\dagger\otimes\mathbf{1})\operatorname{TROCA}$ |
| $Z\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT}_{10}$ |
| $X\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT_}({10}H\otimes\mathbf{1})$ |
| $Y\otimes Z$ | $\operatorname{CNOT_}({10}HS^\dagger\otimes\mathbf{1})$ |
| $Z\otimes X$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes H)$ |
| $X\otimes X$ | $\operatorname{CNOT_}{10}(H\otimes H)$ |
| $Y\otimes X$ | $\operatorname{CNOT_}{10}(HS^\dagger\otimes H)$ |
| $Z\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(\mathbf{1}\otimes HS^\dagger)$ |
| $X\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT}_{10}(H\otimes HS^\dagger)$ |
| $Y\otimes Y$ | $\operatorname{CNOT_}{10}(HS^\dagger\otimes HS^\dagger)$ |
Aqui, a CNOT operação aparece pelo seguinte motivo.
Cada medida de Pauli que não inclui a $\mathbf{1}$ matriz é equivalente até um unitário a $Z\otimes pelo$ raciocínio anterior.
Os autovalores de $Z\otimes Z$ dependem apenas da paridade dos qubits que compõem cada vetor de base computacional, e as operações controladas-not servem para calcular essa paridade e armazená-la no primeiro bit.
Então, uma vez que o primeiro bit é medido, pode-se recuperar a identidade do meio-espaço resultante, o que é equivalente a medir o operador Pauli.
Além disso, embora possa ser tentador assumir que medir Z Z é o mesmo que medir $sequencialmente Z{1}$\mathbb{\otimes e depois\otimes $\mathbb{1}Z$, essa suposição seria falsa.$\otimes $ A razão é que medir $Z\otimes Z$ projeta o estado quântico no $autoestado +1$ ou $-1$ desses operadores. Medir $Z\otimes e depois\otimes $\mathbb{1}Z$ projeta o vetor de estado quântico primeiro em meio espaço de $Z e depois em meio espaço de\otimes{1}$\mathbb{ Z\otimes$\mathbb{{1}$.\mathbb{1}$ Como existem quatro vetores de base computacional, a realização de ambas as medições reduz o estado a um quarto de espaço e, portanto, reduz-o a um único vetor de base computacional.
Correlações entre qubits
Outra maneira de olhar para a medição de produtos tensores de matrizes de Pauli, como $X\otimes X$ ou $Z\otimes Z$ , é que essas medições permitem que você olhe para as informações armazenadas nas correlações entre os dois qubits. A medição $X\otimes 1$ permite que você veja as informações armazenadas localmente no primeiro qubit. Enquanto ambos os tipos de medidas são igualmente valiosos na computação quântica, a primeira ilumina o poder da computação quântica. Ele revela que, na computação quântica, muitas vezes a informação que você deseja aprender não é armazenada em nenhum qubit único, mas sim armazenada não localmente em todos os qubits de uma só vez, e, portanto, apenas olhando para ela através de uma medição conjunta (por exemplo $, Z\otimes Z$) essa informação se torna manifesta.
Operadores arbitrários de Pauli, como $X\otimes Y \otimes Z \otimes\mathbf{1}$ , também podem ser medidos. Todos esses produtos tensores dos operadores de Pauli têm apenas dois autovalores $\pm 1$ e ambos os autoespaços constituem meios-espaços de todo o espaço vetorial. Coincidem, assim, com os requisitos anteriormente enunciados.
Em Q#, tais medidas retornam $j$ se a medição produzir um resultado no espaço próprio do sinal $(-1)^j$. Ter as medições de Pauli como um recurso Q# embutido é útil porque medir esses operadores requer longas cadeias de portas NOT controladas e transformações de base para descrever a porta U$ diagonalizante $necessária para expressar a operação como um produto tensor de $Z$ e $1$. Ao ser capaz de especificar que deseja fazer uma dessas medições pré-definidas, você não precisa se preocupar em como transformar sua base de modo que uma medição de base computacional forneça as informações necessárias. Q# lida com todas as transformações de base necessárias para você automaticamente.
O teorema da não-clonagem
A informação quântica é poderosa. Ele permite que você faça coisas incríveis, como números de fatores exponencialmente mais rápido do que os algoritmos clássicos mais conhecidos, ou simule eficientemente sistemas de elétrons correlacionados que classicamente exigem custo exponencial para simular com precisão. No entanto, existem limitações ao poder da computação quântica. Uma dessas limitações é dada pelo Teorema da Não-Clonagem.
O Teorema da Não-Clonagem é apropriadamente nomeado. Ele não permite a clonagem de estados quânticos genéricos por um computador quântico. A prova do teorema é notavelmente simples. Embora uma prova completa do teorema da não-clonagem seja muito técnica para este artigo, a prova no caso de nenhum qubit auxiliar adicional está dentro do escopo.
Para tal computador quântico, a operação de clonagem deve ser descrita com uma matriz unitária. A medição quântica não é permitida, uma vez que corromperia o estado quântico a ser clonado. Para simular a operação de clonagem, a matriz unitária utilizada precisa ter a propriedade que $$ U=\ket{\ket{\psi}\ket{\psi}\ket{\psi}{0}$$ para qualquer estado.$\ket{\psi}$ A propriedade de linearidade da multiplicação matricial implica então que, para qualquer segundo estado $\ket{\phi}$quântico,
$$\begin{\begin{align}U \left[{2}}\left\frac{{1}{\sqrt{ (\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right]{0}&\ket{ amplificador; =\frac{1}{\sqrt{2}} U\ket{\phi}\ket{{0} +{2}} \frac{1}{\sqrt{U&\\\ket{\psi}\ket{0}amp; =\frac{1}{\sqrt{2}}\left\ket{\phi}\ket{\phi} ( + \ket{\psi}\right\ket{\psi})&\\ amplificador; \ne\left( (\ket{\phi}+\ket{\psi}\right) \right) \otimes\left({2}}\left\frac{1}{\sqrt{ (\ket{\phi}+\right\ket{\psi}) ). \right\frac{{1}{\sqrt{{2}}\left \end{align} $$
Isso fornece a intuição fundamental por trás do Teorema da Não-Clonagem: qualquer dispositivo que copie um estado quântico desconhecido deve induzir erros em pelo menos alguns dos estados que copia. Embora a suposição principal de que o clonador age linearmente no estado de entrada possa ser violada através da adição e medição de qubits auxiliares, tais interações também vazam informações sobre o sistema através das estatísticas de medição e impedem a clonagem exata nesses casos também.
O Teorema da Não-Clonagem é importante para a compreensão qualitativa da computação quântica porque se você pudesse clonar estados quânticos de forma barata, então você receberia uma capacidade quase mágica de aprender com estados quânticos. Na verdade, você poderia violar o alardeado princípio da incerteza de Heisenberg. Como alternativa, você pode usar um clonador ideal para pegar uma única amostra de uma distribuição quântica complexa e aprender tudo o que você poderia aprender sobre essa distribuição de apenas uma amostra. Isso seria como você virar uma moeda e observar cabeças e, em seguida, ao contar a um amigo sobre o resultado, fazê-lo responder &citação; Ah, a distribuição dessa moeda deve ser Bernoulli com $p=0,512643\ldots$!&citação; Tal afirmação seria absurda porque um bit de informação (o resultado das cabeças) simplesmente não pode fornecer os muitos bits de informação necessários para codificar a distribuição sem informações prévias substanciais. Da mesma forma, sem informação prévia não se pode perfeitamente clonar um estado quântico, assim como não se pode preparar um conjunto de tais moedas sem conhecer $p$.
A informação não é livre na computação quântica. Cada qubit medido fornece um único bit de informação, e o Teorema da Não-Clonagem mostra que não há backdoor que possa ser explorado para contornar o compromisso fundamental entre as informações obtidas sobre o sistema e a perturbação invocada sobre ele.