Representação matricial de transformações

Uma matriz m×n é um conjunto de números organizados em linhas m e n colunas. A ilustração a seguir mostra diversas matrizes.

Você pode adicionar duas matrizes do mesmo tamanho ao adicionar elementos individuais. A ilustração a seguir mostra dois exemplos de adição de matriz.

Uma matriz m×n pode ser multiplicada por uma matriz n×p e o resultado é uma matriz m×p . O número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. Por exemplo, uma matriz de 4 ×2 pode ser multiplicada por uma matriz de 2 ×3 para produzir uma matriz de 4 ×3.

Os pontos no plano e as linhas e as colunas de uma matriz podem ser pensados como vetores. Por exemplo, (2, 5) é um vetor com dois componentes e (3, 7, 1) é um vetor com três componentes. O produto escalar de dois vetores é definido da seguinte maneira:

(a, b) • (c, d) = ac + bd

(a, b, c) • (d, e, f) = ad + be + cf

Por exemplo, o produto escalar (2, 3) e (5, 4) é (2)(5) + (3)(4) = 22. O produto escalar (2, 5, 1) e (4, 3, 1) é (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24. Observe que o produto escalar de dois vetores é um número e não outro vetor. Observe também que você pode calcular o produto escalar somente se os dois vetores tiverem o mesmo número de componentes.

Deixe A(i, j) ser a entrada na matriz A na ith linha e na coluna jth . Por exemplo, A(3, 2) é a entrada na matriz A na linha 3rd e na coluna 2nd . Suponha que A, B e C são matrizes e AB = C. As entradas de C são calculadas da seguinte maneira:

C(i, j) = (linha i de A) • (coluna j de B)

A ilustração a seguir mostra dois exemplos de multiplicação de matriz.

Se você pensar em um ponto no plano como uma matriz de 1 × 2, poderá transformar esse ponto multiplicando-o por uma matriz de 2 × 2. A ilustração a seguir mostra várias transformações aplicadas ao ponto (2, 1).

Todas as transformações mostradas na figura anterior são transformações lineares. Determinadas outras transformações, como a tradução, não são lineares e não podem ser expressas como multiplicação por uma matriz de 2 × 2. Suponha que você deseja começar com o ponto (2, 1), girá-lo 90 graus, movê-lo em 3 unidades na direção x e 4 unidades na direção y. Você pode fazer isso executando uma multiplicação de matriz seguida por uma adição de matriz.

Uma transformação linear (multiplicação por uma matriz de 2 × 2) seguida de uma tradução (adição de uma matriz de 1 × 2) é chamada de transformação affine. Uma alternativa para armazenar uma transformação de afins em um par de matrizes (uma para a parte linear e outra para a tradução) é armazenar toda a transformação em uma matriz de 3 × 3. Para fazer isso funcionar, um ponto no plano deve ser armazenado em uma matriz de 1 × 3 com uma coordenada 3 fictícia. A técnica comum é fazer todas as terceiras coordenadas iguais a 1. Por exemplo, o ponto (2, 1) é representado pela matriz [2 1 1]. A ilustração a seguir mostra uma transformação afim (girar 90 graus; traduzir 3 unidades na direção x, 4 unidades na direção y) expressa como multiplicação por uma única matriz de 3 × 3.

No exemplo anterior, o ponto (2, 1) é mapeado para o ponto (2, 6). Observe que a terceira coluna da matriz 3 × 3 contém os números 0, 0, 1. Esse sempre será o caso da matriz 3 × 3 de uma transformação affine. Os números importantes são os seis números nas colunas 1 e 2. A parte superior esquerda 2 × 2 da matriz representa a parte linear da transformação e as duas primeiras entradas na terceira linha representam a tradução.

No Windows GDI+ você pode armazenar uma transformação affine em um objeto Matrix . Como a terceira coluna de uma matriz que representa uma transformação affine é sempre (0, 0, 1), você especifica apenas os seis números nas duas primeiras colunas ao construir um objeto Matrix . A instrução Matrix myMatrix(0.0f, 1.0f, -1.0f, 0.0f, 3.0f, 4.0f); constrói a matriz mostrada na figura anterior.

Transformações de composição

Uma transformação de composição é uma sequência de transformações, uma seguida da outra. Considere as matrizes e transformações na lista a seguir:

• Matriz A Girar 90 graus
• Matriz B Escala por um fator de 2 na direção x
• Matriz C Traduzir 3 unidades na direção y

Se você começar com o ponto (2, 1) — representado pela matriz [2 1 1] — e multiplicar por A, depois B, C, o ponto (2,1) passará pelas três transformações na ordem listada.

[2 1 1] ABC = [ –2 5 1]

Em vez de armazenar as três partes da transformação composta em três matrizes separadas, você pode multiplicar A, B e C juntos para obter uma única matriz de 3 × 3 que armazena toda a transformação composta. Suponha que a ABC = D. Em seguida, um ponto multiplicado por D fornece o mesmo resultado que um ponto multiplicado por A, B e, em seguida, C.

[2 1 1] D = [ –2 5 1]

A ilustração a seguir mostra as matrizes A, B, C e D.

O fato de que a matriz de uma transformação composta pode ser formada multiplicando as matrizes de transformação individuais significa que qualquer sequência de transformações de afins pode ser armazenada em um único objeto Matrix .

Observação

A ordem de uma transformação de composição é importante. Em geral, girar, dimensionar e converter não é o mesmo que dimensionar, girar e converter. Da mesma forma, a ordem de multiplicação de matriz é importante. Em geral, ABC não é o mesmo que BAC.

 

A classe Matrix fornece vários métodos para criar uma transformação composta: Matrix::Multiply, Matrix::Rotate, Matrix::RotateAt, Matrix::Scale, Matrix::Shear e Matrix::Translate. O exemplo a seguir cria a matriz de uma transformação composta que primeiro gira 30 graus, depois dimensiona por um fator de 2 na direção y e, em seguida, converte 5 unidades na direção x.

Matrix myMatrix;
myMatrix.Rotate(30.0f);
myMatrix.Scale(1.0f, 2.0f, MatrixOrderAppend);
myMatrix.Translate(5.0f, 0.0f, MatrixOrderAppend);

A ilustração a seguir mostra a matriz.