매트릭스에 의한 변환 표시

m n 매트릭스는 m개의 행과 n개의 열로 배열된 숫자 집합입니다. 다음 그림은 몇 가지 매트릭스를 나타냅니다.

매트릭스의 개별 요소를 더하여 크기가 동일한 두 매트릭스를 더할 수 있습니다. 다음 그림은 매트릭스 더하기의 두 예제를 보여 줍니다.

m n 매트릭스는 n p 매트릭스와 곱할 수 있으며 그 결과로 m p 매트릭스가 만들어집니다. 첫 번째 매트릭스의 열 수는 두 번째 매트릭스의 행 수와 같아야 합니다. 예를 들어 4×2 매트릭스를 2×3 매트릭스와 곱하면 4×3 매트릭스가 만들어집니다.

평면 상의 점과 매트릭스의 행/열은 벡터로 생각할 수 있습니다. 예를 들어, (2, 5)는 두 요소로 구성된 벡터이고 (3, 7, 1)은 세 요소로 구성된 벡터입니다. 두 벡터의 도트 곱은 다음과 같이 정의됩니다.

(a, b) • (c, d) = ac + bd

(a, b, c) • (d, e, f) = ad + be + cf

예를 들어 (2, 3)과 (5, 4)의 도트 곱은 (2)(5) + (3)(4) = 22이며, (2, 5, 1)과 (4, 3, 1)의 도트 곱은 (2)(4) + (5)(3) + (1)(1) = 24입니다. 두 벡터의 도트 곱은 또 다른 벡터가 아니라 수라는 점에 주의합니다. 또한 두 벡터의 요소 수가 동일한 경우에만 도트 곱을 계산할 수 있다는 점에 주의합니다.

A(i, j)는 매트릭스 A에서 i번째 행과 j번째 열에 있는 엔트리입니다. 예를 들어 A(3, 2)는 매트릭스 A에서 3번째 행과 2번째 열에 있는 엔트리입니다. A, B, C가 매트릭스이고 AB = C라고 가정할 때 C의 엔트리는 다음과 같이 계산됩니다.

C(i, j) = (A의 i행) • (B의 j열)

다음 그림은 매트릭스 곱하기의 몇 가지 예제를 보여 줍니다.

평면 위의 점을 1×2 매트릭스로 생각하면 이 매트릭스와 2×2 매트릭스를 곱하여 점을 변환할 수 있습니다. 다음 그림은 점 (2, 1)에 적용된 몇 가지 변환을 보여 줍니다.

위의 그림에 나타난 모든 변환은 선형 변환입니다. 이동과 같은 기타 특정 변환은 선형이 아니므로 2×2 매트릭스 곱으로 표현할 수 없습니다. 가령, 점(2, 1)에서 시작하여 이 점을 90도 회전시키고 x방향으로 3단위, y방향으로 4단위를 이동하려는 경우를 가정해 보겠습니다. 이 동작은 매트릭스 곱과 매트릭스 합을 차례로 사용하여 수행할 수 있습니다.

선형 변환(2×2 매트릭스 곱하기) 후에 이동(1×2 매트릭스 더하기) 변환을 수행하는 것을 상관 변환(affine transformation)이라고 합니다. 상관 변환을 한 쌍의 매트릭스(선형 변환용 매트릭스와 이동 변환용 매트릭스)에 저장하는 대신 전체 변환을 단일 3×3 매트릭스에 저장할 수도 있습니다. 이렇게 하려면 세 번째 좌표가 더미인 1×3 매트릭스에 평면 위의 점을 저장해야 합니다. 일반적으로는 세 번째 좌표를 모두 1로 만듭니다. 예를 들어 점 (2, 1)은 [2 1 1] 매트릭스로 표현됩니다. 다음 그림은 단일 3×3 매트릭스 곱으로 표현된 상관 변환을 나타냅니다. 이 상관 변환은 좌표를 90도 회전시키고 x축 방향으로 3단위, y축 방향으로 4단위를 이동합니다.

위의 예에서 점 (2, 1)은 점 (2, 6)으로 매핑됩니다. 3×3 매트릭스의 세 번째 열에 포함되어 있는 숫자 0, 0, 1에 주목하십시오. 유사 변환의 3×3 매트릭스에는 항상 이 숫자가 사용됩니다. 여기서 중요한 숫자는 1열과 2열의 숫자 6개입니다. 매트릭스의 왼쪽 위에 있는 2×2 부분은 선형 변환 부분을 나타내고 세 번째 행의 처음 두 항목은 이동 변환을 나타냅니다.

GDI+에서는 유사 변환을 Matrix 개체에 저장할 수 있습니다. 상관 변환을 나타내는 매트릭스의 세 번째 열은 항상 (0, 0, 1)이므로 Matrix 개체를 구성하는 경우 처음 두 열에 있는 6개의 숫자만 지정합니다. Matrix myMatrix = new Matrix(0, 1, -1, 0, 3, 4) 문은 위의 그림에 표시된 매트릭스를 구성합니다.

복합 변환

복합 변환은 일련의 변환을 차례대로 수행하는 변환입니다. 다음 목록과 같은 매트릭스 및 변환을 예로 들어 보겠습니다.

매트릭스 A	90도 회전
매트릭스 B	x축 방향으로 2의 비율로 크기 조정
매트릭스 C	y축 방향으로 3단위만큼 이동

매트릭스 [2 1 1]로 표현되는 점 (2, 1)에 매트릭스 A, B, C를 차례로 곱하면 점 (2, 1)에 대해 이 순서대로 세 개의 변환이 실행됩니다.

[2 1 1]ABC = [-2 5 1]

복합 변환의 세 부분을 세 개의 매트릭스에 개별적으로 저장하는 대신 A, B, C를 동시에 곱하면 전체 복합 변환이 저장되는 단일 3×3 매트릭스를 만들 수 있습니다. ABC = D라고 가정하고 이 점에 D를 곱하면 A, B, C를 차례로 곱한 것과 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

[2 1 1]D = [-2 5 1]

다음 그림은 매트릭스 A, B, C, D를 나타냅니다.

개별 변환 매트릭스를 곱하여 전체 변환 매트릭스를 구성할 수 있으면 모든 상관 변환 순서를 단일 Matrix 개체에 저장할 수 있습니다.

경고

복합 변환의 경우 순서가 중요합니다. 일반적으로 회전, 크기 조정, 이동을 차례로 수행하는 것은 크기 조정, 회전, 이동을 차례로 수행하는 것과 다릅니다. 마찬가지로 매트릭스 곱셈 연산에서도 순서가 중요합니다. 일반적으로 ABC와 BAC는 다릅니다.

Matrix 클래스에서는 Multiply, Rotate, RotateAt, Scale, Shear, Translate와 같이 복합 변환을 구성하는 데 필요한 몇 가지 메서드를 제공합니다. 다음 예제에서 만들어진 복합 변환 매트릭스는 30도를 회전시키고, y축 방향으로 2의 비율로 크기를 조정한 다음, x축 방향으로 5단위를 이동합니다.

        Dim myMatrix As New Matrix()
        myMatrix.Rotate(30)
        myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append)
        myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append)

Matrix myMatrix = new Matrix();
myMatrix.Rotate(30);
myMatrix.Scale(1, 2, MatrixOrder.Append);
myMatrix.Translate(5, 0, MatrixOrder.Append);

다음 그림은 이 매트릭스를 나타냅니다.

참고 항목

기타 리소스

좌표계 및 변환

관리 GDI+에서 변환 사용