IEEE 부동 소수점 표시
Microsoft Visual C++는 IEEE 숫자 표준과 일치합니다. 세 종류의 실수가 있습니다. Visual C++에서는 real*4와 real*8이 사용됩니다. real*4는 float라는 단어를 사용하여 선언되고 real*8은 double이라는 단어를 사용하여 선언됩니다. Windows 32비트 프로그래밍에서 long double 데이터 형식은 double에 매핑됩니다. 그러나 어셈블리 언어는 real*10 데이터 형식을 사용하는 계산을 지원합니다.
숫자 값은 다음과 같이 저장됩니다.
값 |
저장 |
|---|---|
real*4 |
부호 비트, 8비트 지수, 23비트 가수 |
real*8 |
부호 비트, 11비트 지수, 52비트 가수 |
real*10 |
부호 비트, 15비트 지수, 64비트 가수 |
real*4 및 real*8 형식에서는 메모리에 저장되지 않은 가수에 선행하는 1이 있는 것으로 간주하므로 가수는 23 또는 52비트만 저장되지만 실제로는 24 또는 53비트입니다. real*10 형식은 실제로 이 비트를 저장합니다.
지수는 가능한 값의 절반만큼 오차를 더합니다. 따라서 실제 지수를 구하려면 저장된 지수에서 이 오차를 뺍니다. 저장된 지수가 오차보다 작으면 실제는 음의 지수가 됩니다.
지수의 오차는 다음과 같습니다.
지수 |
오차 |
|---|---|
8비트(real*4) |
127 |
11비트(real*8) |
1023 |
15비트(real*10) |
16383 |
이 지수들은 10의 제곱이 아니라 2의 제곱입니다. 즉, 8비트의 저장된 지수는 최대 127일 수 있습니다. 2**127은 약 10**38이며, 이 값은 real*4의 실제 한계입니다.
가수는 1.XXX... 형태의 이진 소수로 저장됩니다. . 이 소수는 1보다 크거나 같고 2보다 작은 값입니다. 실수는 항상 정규화된 형태로 저장됩니다. 즉, 가수는 상위 차수 비트가 항상 1이 되도록 왼쪽으로 자리 옮김됩니다. 이 비트는 항상 1이기 때문에 real*4 및 real*8 형식으로 저장되지는 않아도 real*4 및 real*8 형식으로 간주됩니다. 십진수가 아닌 이진 소수점은 선행하는 1의 바로 오른쪽에 있는 것으로 간주됩니다.
여러 크기의 형식은 다음과 같습니다.
형식 |
BYTE 1 |
BYTE 2 |
BYTE 3 |
BYTE 4 |
... |
BYTE 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
real*4 |
SXXX XXXX |
XMMM MMMM |
MMMM MMMM |
MMMM MMMM |
|
|
real*8 |
SXXX XXXX |
XXXX MMMM |
MMMM MMMM |
MMMM MMMM |
... |
MMMM MMMM |
real*10 |
SXXX XXXX |
XXXX XXXX |
1MMM MMMM |
MMMM MMMM |
... |
MMMM MMMM |
S는 부호 비트를 나타내며 X는 지수 비트, M은 가수 비트입니다. 가장 왼쪽에 있는 비트는 real*4 및 real*8 형식으로 간주되지만 real*10 형식, BYTE 3의 "1"로 표시됩니다.
이진 소수점을 제대로 자리 옮김하려면 먼저 지수에서 오차를 뺀 다음 이진 소수점을 해당 비트 수만큼 오른쪽 또는 왼쪽으로 옮깁니다.
예제
다음은 real*4 형식의 예입니다.
다음 예제에서 부호 비트는 0이고 저장된 지수는 128(127+1) 또는 이진수 100 0000 0입니다. 저장된 가수는 (1.) 000 0000 ... 0000 0000이며, 선행하는 1과 이진 소수점이 있으므로 실제 가수는 1입니다.
SXXX XXXX XMMM MMMM ... MMMM MMMM 2 = 1 * 2**1 = 0100 0000 0000 0000 ... 0000 0000 = 4000 0000부호 비트가 설정된 것 외에는 +2와 같습니다. 모든 IEEE 형식의 부동 소수점 숫자에도 적용됩니다.
-2 = -1 * 2**1 = 1100 0000 0000 0000 ... 0000 0000 = C000 0000가수는 같고 지수는 1 증가한 값이며, 오차를 더한 값은 129 또는 이진수 100 0000 1입니다.
4 = 1 * 2**2 = 0100 0000 1000 0000 ... 0000 0000 = 4080 0000지수는 같고 가수는 절반만큼 더 큰 (1.) 100 0000 ...0000 0000입니다. 이 가수는 이진 소수이므로 1 1/2이며, 소수 자릿수의 값은 1/2, 1/4, 1/8 등입니다.
6 = 1.5 * 2**2 = 0100 0000 1100 0000 ... 0000 0000 = 40C0 0000지수는 다른 2의 제곱과 동일하며 가수는 2보다 1이 작은 127 또는 이진수 011 1111 1입니다.
1 = 1 * 2**0 = 0011 1111 1000 0000 ... 0000 0000 = 3F80 0000오차를 더한 지수는 126 또는 이진수 011 1111 0이며, 가수는 (1.) 100 0000 ... 0000 0000, 즉 1 1/2입니다.
.75 = 1.5 * 2**-1 = 0011 1111 0100 0000 ... 0000 0000 = 3F40 0000가수에 1/4을 나타내는 비트가 설정된 점을 제외하면 2와 동일합니다.
2.5 = 1.25 * 2**1 = 0100 0000 0010 0000 ... 0000 0000 = 4020 00001/10은 이진수로 반복되는 소수입니다. 가수는 1.6이고 오차를 더한 지수 값은 1.6이 16으로 나뉜다는 것을 나타냅니다. 이진수로는 011 1101 1이고 십진수로는 123입니다. 실제 지수는 123 – 127 = –4로서 이는 곱할 인수가 2**–4 = 1/16임을 의미합니다. 저장된 가수는 마지막 비트에서 반올림되어야 하는데, 표시할 수 없는 숫자를 가능한 정확하게 표시하기 위한 것입니다. 1/10과 1/100을 이진수로 정확히 나타낼 수 없는 이유는 1/3을 십진수로 정확히 나타낼 수 없는 것과 같습니다.
0.1 = 1.6 * 2**-4 = 0011 1101 1100 1100 ... 1100 1101 = 3DCC CCCD0 = 1.0 * 2**-128 = all zeros--a special case.