양자 컴퓨팅의 벡터 및 행렬
양자 컴퓨팅을 이해하려면 선형 대수에 대해 잘 알고 있습니다. 이 문서에서는 선형 대수의 기본 개념과 양자 컴퓨팅에서 벡터 및 행렬을 사용하는 방법을 소개합니다.
벡터
짧은 차원(또는 크기) n의 v $$ 에 대한 열 벡터 또는 벡터는 열로 정렬된 n$개의 $복소수(v_1,v_2,\ldots,v_n)$의 컬렉션$입니다.$$
$$v =\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ \vdots\\ v_n \end{bmatrix}$$
벡터 $v$의 표준은 $\sqrt{\sum_i |v_i|^2}$으로 정의됩니다. 벡터는 표준$이 1$인 경우 단위 벡터라고 합니다.
열 벡터 $v$의 인접 항목은 v^\dagger$로 $표시된 행 벡터이며 v$의 $컨쥬게이트 변환으로 정의됩니다. 차원 $n의 열 벡터 $v$의 경우 인접 항목은 차원 $1 \times n$의 행 벡터$입니다.
$$\begin{bmatrix}v_1 \ \vdots \ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots& v_n^* \end{bmatrix}$$
여기서 $v_i^*$는 v_i$ 복합 결합$을 나타냅니다.
선형 대수로
스칼라 제품
점 제품 또는 내부 제품이라고도 하는 스칼라 제품을 통해 두 벡터를 함께 곱할 수 있습니다. 이름에서 알 수 있듯이 두 벡터의 스칼라 곱 결과는 스칼라입니다. 스칼라 제품은 한 벡터를 다른 벡터로 프로젝션하고 한 벡터를 다른 간단한 벡터의 합계로 표현하는 데 사용됩니다. 두 열 벡터 u와 v 사이의 스칼라 제품은 u, v u^\dagger v$=\right\rangle로 $\left\langle 표시되며 다음과 같이 정의됩니다.$$$$
$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&앰프; u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n u_1\end{bmatrix}=^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n.\\\begin{bmatrix} $$
스칼라 제품을 사용하면 벡터 $v의 표준은 v$, v\rangle}$로 $\sqrt{\langle 작성할 수 있습니다.
벡터에 숫자 $a를 곱하여 항목을 곱한 새 벡터를 만들 수 있습니다$$.$ u 및 $v 항목의 합계인 항목을 포함하는 새 벡터를 형성하기 위해 두 개의 벡$터 u$$와 $v$를 $추가할 수도$ 있습니다. 이러한 작업은 다음과 같습니다.
$$ au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1\\ au_2+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n \end{bmatrix}$$
행렬
m n$ 크기의 \times$행렬은 아래와 같이 m 행 및 $n$ 열로 $정렬된 m$\cdot n$ 복소수의 컬렉션$입니다.
$$M =\begin{bmatrix} M_{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\\\end{bmatrix}$$
참고 항목
차원 $n$의 벡터는 단순히 n 1$ 크기의 $\times 행렬입니다.
양자 연산은 제곱 행렬로 표현됩니다. 즉, 행과 열의 수가 같습니다. 예를 들어 단일 큐비트 작업은 Pauli X 연산과 같이 2 \times 개의$ 매트릭스로 표시됩니다$.$$
$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$
팁
에서 Q#Pauli $X$ 연산은 연산으로 X 표시됩니다.
벡터와 마찬가지로 행렬에 숫자 $c를 곱하여 모든 항목에 c$$를 곱$하는 새 행렬을 얻을 수 있으며, 동일한 크기의 두 행렬을 추가하여 해당 항목이 두 행렬의 각 항목의 합계인 새 행렬을 생성할 수 있습니다.
행렬 곱하기
또한 $m 차원의 행렬 $M$\times n$ 행렬 $n \times p$ 차원의 행렬 $$N$ 곱하여 다음과 같이 차원 $m \times p$ 새 행렬 $P$ 가져올 수 있습니다.
$$ \begin{ \begin{align} &\begin{bmatrix} M_{{11} M_{12}\cdots M_{1n}\\ M_{{21} M_{22}\cdots M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1} M_{m2}\cdots M_{mn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} N_{{11} N_{{12}\cdots N_{1p}\\ N_{{21} N_{22}\cdots N_{2p}\\\ddots\\ N_{n1} N_{n2}\cdots N_{np}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{{11} P_{12}\cdots P_{1p}\\ P_{21} P_{{22}\cdots P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1} P_{m2}\cdots P_{mp}\end{bmatrix}\end{align}$$
여기서 $P$의 항목은 $P_{ik}=\sum_j M_{ij}N_{jk}$입니다. 예를 들어 P_{11}$ 항목$은 첫 번째 열$이 N$인 M$ 행의 $스칼라 곱입니다. 벡터는 단순히 행렬의 특별한 경우이기 때문에 이 정의는 행렬-벡터 곱으로 확장됩니다.
특수 매트릭스 유형
한 가지 특수 정방 행렬은 $\mathbb{\mathbb{I}$로 나타내는 ‘단위 행렬’이며, 여기에는 $1$과 같은 모든 대각선 요소 및 $0$과 같은 나머지 요소가 포함됩니다.
$\mathbb{ \mathbb{I}=\begin{bmatrix} 1 0 \cdots 0\\ 0 1 \cdots 0\\\ddots\\ 0 \cdots 1 \end{bmatrix}.$
정사각형 행렬 A의 경우 행렬 B$는 AB = BA\mathbb{I}$\mathbb{=인 경우 $역입니다.$$$ 행렬 $A$에 역이 있으면 역 행렬은 고유하며 A^{-1}$로 $작성됩니다.
행렬 $M$의 경우 $M$의 전치 수반 행렬 및 켤레는 행렬 $N$이므로 $N_{ij}= M_{ji}^*$입니다. M의 $부호는 M$^\dagger$으로 $표시됩니다.
$UU^\dagger= U^\dagger U =\mathbb{I}$이거나 동등하게 $U^{{-1}= U^\dagger$인 경우 행렬 $U$는 유니터리입니다. 단위 행렬의 한 가지 중요한 속성은 벡터의 규범을 유지한다는 것입니다. 때문에 발생합니다.
$\langle v,v \rangle=v^{\dagger} v = v^{\dagger} U^{{-1} U v = v^{\dagger} U^{\dagger} U v =\langle U v, U v\rangle.$
참고 항목
양자 연산은 인접한 행렬이 역과 같은 제곱 행렬인 단위 행렬로 표현됩니다.
M^\dagger$인 경우=$ 행렬 $M$을 에르미티안이라고합니다.
양자 컴퓨팅에는 기본적으로 에르미트와 유니터리라는 두 개의 행렬만 발생합니다.
텐서 곱
또 다른 중요한 작업은 행렬 직접 제품 또는 Kronecker 제품이라고도 하는 텐서 제품입니다.
두 벡터 $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ 및 $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$를 고려합니다. 해당 텐서 제품은 v \otimes u$로 $표시되고 블록 행렬이 생성됩니다.
$$ \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} b \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b d \end{bmatrix}$$
참고 항목
텐서 제품은 완전히 다른 연산인 행렬 곱하기와 구별됩니다.
텐서 제품은 여러 큐비트의 결합 상태를 나타내는 데 사용됩니다. 양자 컴퓨팅의 진정한 힘은 여러 큐비트를 활용하여 계산을 수행하는 데서 비롯됩니다. 자세한 내용은 여러 큐비트에 대한 작업을 참조 하세요.