Azure PortalのCloud ShellからSQL Database内のデータにアクセスする場合、通常はPublic IP アドレス(パブリックアクセス)が必要になります。
SQL Database内のデータにアクセスするための接続方法は、大きく分けてインターネットからのアクセス(パブリックアクセス)とVNETからのアクセス(プライベートアクセス)の2種類があります。
Cloud ShellはSQL DatabaseへのアクセスにAzureのPublic IPアドレスを使用するので、パブリックアクセスに該当します。
Azure Database for PostgreSQLのネットワーク設定で「Azure 内の任意の Azure サービスにこのサーバーへのパブリック アクセスを許可する」を有効化することにより、Cloud Shellが実行されているAzureデータセンターのIPアドレス一式に対して接続許可を与えることができますが、他のテナントの利用者もCloud Shellなどでネットワーク接続が可能になってしまうので注意が必要です。
https://learn.microsoft.com/ja-jp/azure/postgresql/flexible-server/concepts-networking-public#allow-all-azure-ip-addresses
セキュリティの観点からネットワークの接続元を制限したいという要求を満たすには、占有しているPublic IPアドレスからのパブリックアクセス、もしくはVNETに配置した踏み台用VMなどからのプライベートアクセスを構成する必要があります。
どうしてもAzure PortalのCloud Shellを使いたいのであれば、Database for PostgreSQLのPrivate EndpointをVNETに設置しておき、Cloud ShellをVNETにデプロイする方法で実現できるかもしれません。
https://jpaztech.github.io/blog/vm/UseCloudShellinAzureVirtualNetwork/