はじめまして。
ご質問について、同機能を利用していた経験を踏まえ回答いたします。
どのような異常があって何を修正すれば正常にできるのか
こちらですが、システム構成によってエラー内容は異なります。一例として、以下KBにあるように App Service からDBへの接続が不可の場合、正常性チェックはエラー(HTTP500応答)となります。
正常性チェックを使用して App Service インスタンスを監視する
現在インスタンスは1台のため削除されると困ると思い、
削除と記述されていますが、挙動としてはインスタンスの入替 (障害が発生したインスタンスを削除し、新しいインスタンスを作成) になります。0台になることを懸念されている認識ですが、そのようなことは起こらないはずです。
正常性チェックの機能詳細は上記KBを参考にしてください。