Notazione e operatori Dirac
Nell'unità precedente si è appreso come rappresentare la sovrapposizione in una sfera Bloch. Tuttavia, il calcolo quantistico richiede l'algebra lineare e la meccanica quantistica per la comprensione. Come è possibile scrivere stati di sovrapposizione e quantistici in modo facile da comprendere e usare?
In questa unità, apprenderai in merito alla notazione bra-ket di Dirac, una notazione utile per scrivere gli stati quantistici.
Che cos'è la notazione bra-ket di Dirac?
La notazione Dirac bra-ket, notazione Dirac in breve, è una notazione abbreviata che semplifica la scrittura di stati quantistici e l’elaborazione dell’algebra lineare. In questa notazione vengono descritti gli stati possibili di un sistema quantistico con i simboli denominati ket, che hanno un aspetto simile al seguente: $| \rangle$.
Ad esempio, $|0\rangle$ e $|1\rangle$ rappresentano rispettivamente gli stati 0 e 1 di un qubit.
Un qubit nello stato $|\psi\rangle = |0\rangle$ indica che la probabilità di osservare 0 quando si misura il qubit è del 100%. Analogamente, se si misura un qubit nello stato $|\psi\rangle =|1\rangle$, si ottiene sempre 1.
Ad esempio, un qubit in sovrapposizione può essere scritto come $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$. Questo stato è una sovrapposizione degli stati $|0\rangle$ e $|1\rangle$. La probabilità di misurare 0 è $\frac12$ e la probabilità di misurare 1 è anch’essa $\frac12$.
Che cosa sono gli operatori quantistici?
Il calcolo quantistico riguarda la modifica degli stati quantistici per eseguire calcoli. Un operatore quantistico è una funzione che agisce su uno stato di un sistema quantistico e lo trasforma in un altro stato. Ad esempio, è possibile trasformare uno stato $|0\rangle$ in uno stato $|1\rangle$, applicando l’operatore X.
$$X |0\rangle = |1\rangle$$
L’operatore X viene chiamato anche gate Pauli-X. Si tratta di un’operazione quantistica fondamentale che capovolge lo stato di un qubit. Sono presenti tre cancelli Pauli: X, Y e Z. Ogni gate od operatore ha un effetto specifico sullo stato del qubit.
| Operatore | Effetto su $\ket{0}$ | Effetto su $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| Y | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
Nota
A volte è possibile leggere o sentire il termine gate quantistici anziché operazioni quantistiche. Il termine porta quantistica è un'analogia con le porte logiche classiche. Questa differenziazione si è radicata nei primi giorni del calcolo quantistico quando gli algoritmi quantistici erano visualizzati come diagrammi simili ai diagrammi di circuiti nel calcolo classico.
È possibile usare un operatore per inserire un qubit in sovrapposizione. L’operatore Hadamard, H, inserisce un qubit nello stato $|0\rangle$ in sovrapposizione degli stati $|0\rangle$ e $|1\rangle$. Matematicamente, questa equazione è
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle.$$
In questo caso, la probabilità di misurare ogni stato è $P(0)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$ e $P(1)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$. Ogni stato ha una probabilità del 50% di essere misurata. È anche possibile verificare che $\frac12 + \frac12 = 1$.
Cosa significa eseguire una misurazione?
In meccanica quantistica esistono molte interpretazioni del concetto di misurazione, ma i dettagli esulano dall'ambito di questo modulo. In termini di calcolo quantistico non è necessario preoccuparsene.
In questo modulo si comprenderà l’idea informale di “osservazione” di un qubit, che comprime immediatamente la sovrapposizione quantistica in uno dei due stati di base che corrispondono a 0 e 1. Ad esempio, se si misura un qubit nello stato $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$, significa che si forza il qubit a accettare uno dei due stati possibili e si osserverà 0 o 1 con la stessa probabilità.
Per altre informazioni sulle misure e su come l'argomento è stato trattato nel contesto della meccanica quantistica, vedere l'articolo di Wikipedia sul problema della misura.