圆分割2n+1点问题(已答)

问题：平面上有2n+1个点，他们任三点不共线。是否可以做出这样一个圆，使得有且仅有1个点在圆上，且恰有n个点在圆内，n个点在圆外。

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已经有不少朋友和我讨论过这个问题。本打算和下一个贴子一起贴出来，看来已经等不及了。我来说说我的想法。

其实我也一向对这种存在性问题不是很在行，但一直都关注于对数学大方向的掌握和理解，也注重对数学的审美。没想过要当数学家，不过有些数学思维还是可以的。

这个问题就显示出了对数学的理解问题，不需要很深奥的知识，关键在于理解和转化。

如果问题从圆变成直线：是否存在这样一条直线，它恰过1点，且恰有n个点在直线的一侧，n个点在直线的另一侧。很多人的直觉是存在，而且这个直觉对于我来讲比较“显见”。

我们先不考虑这个直觉是否可靠，假定它是可靠的（毕竟我们不是数学家，如果基于一些不太可靠的假设可以得出一些结论的话，也是不错的体验）。

如果关于直线的命题是正确的，那么这个题的解就在于怎么理解直线和圆的区别。在我眼里，他们“几乎”没有什么区别，他们可以“转化”。

如果他们可以转化，那么，直线有解就是圆有解。问题是怎么“转化”。那么请问：可否把直线看成曲率无限大的圆么？

如果可以，那么直线有解，圆亦有解。

虽然我不是数学家，但话说到此也不会令人信服。所以，你可以做出一个曲率相当大或者说非常大的圆（切过“直线”的点），问题就转化了，解决了。（我不会为这个而涉及太多细节，还是那句话，我毕竟不是数学家，我更在乎解决数学题的乐趣，而不是每一个细节）

下一步就是怎么“证明”直线一定存在。如果直线能够被证明，那么此题就被解决了。这也是细节，对于喜爱数学的人来说，不是什么太难的事儿。如果真有需要，我再说也不迟。

Comments

• Anonymous
  August 19, 2007
  1、必定存在一条直线上有两个点，一侧有N个点，另一侧有N-1个点。 2、以该直线上的一个点为切点可以画一个最大圆（比直线小、直线为无穷大的圆）可以包含N个点一侧的所有点，这样肯定不会包含该直线上的另一点。 3、进一步可以计算出该圆的最小半径值。y=x/2sinA；其中x为一距离切点位置最远的N点侧点的距离；角度A为N测点与切点连线与该直线的最小夹角。

• Anonymous
  August 26, 2007
  Bolik,我们的解法基本类似：）