Notación dirac en la computación cuántica
notación dirac es una manera concisa y eficaz de describir los estados y las operaciones cuánticos. Se llama después del físico Paul Dirac, quien desarrolló la notación en los años 30. La notación dirac se usa en la computación cuántica para describir los estados cuánticos, las operaciones cuánticas y las medidas cuánticas.
En este artículo se presenta la notación dirac y se muestra cómo usarla para describir los estados y las operaciones cuánticos.
Vectores en notación Dirac
Hay dos tipos de vectores en notación de Dirac: el vector bra , correspondiente a un vector de fila, y el vector ket , correspondiente a un vector de columna. Por esa razón, la notación de Dirac también se denomina notación bra-ket.
Si $\psi$ es un vector de columna, puede escribirlo en notación Dirac como $\ket{\psi}$, donde el $\ket{\cdot}$ denota que es un vector de ket.
Del mismo modo, el vector de fila $\psi^\dagger$ se expresa como $\bra{\psi}$, que es un vector bra. En otras palabras, $\psi^\dagger$ se obtiene al aplicar la conjugación compleja de entrada a los elementos de la transposición de $\psi$. La notación bra-ket implica directamente que $\braket{\psi|\psi}$ es el producto interior del vector $\psi$ por sí mismo, que es por definición $1$.
De forma más general, si $\psi$ y $\phi$ son vectores de estado cuántico, su producto interior es $\braket{\phi|\psi}$. Este producto interior implica que la probabilidad de que la medida del estado $\ket{\psi}$ sea $\ket{\phi}$ es $|\braket{\phi|\psi}|^2$.
Los estados de base computacional $0$ y $1$ se representan como $\begin{bmatrix} 1 \ 0 \end{bmatrix}=\ket{{0}$ y $\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}=\ket{1}$, respectivamente.
Ejemplo: Representación de la operación de Hadamard con la notación de Dirac
Vamos a aplicar la puerta Hadamard $H$ a los estados cuánticos $\ket{0}$ y $\ket{1}$ mediante la notación Dirac:
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}=H\ket{{0}=\ket{+}$$
$$\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}=H\ket{{1}=\ket{-}$$
Los estados resultantes corresponden a los vectores unitarios en las direcciones $+x$ y $-x$ en la esfera de Bloch. Estos estados también pueden expandirse con la notación de Dirac como sumas de $\ket{0}$ y $\ket{1}$:
$$\ket{+}=\frac{{1}{\sqrt{2}}(\ket{0} + \ket{1}) $$
$$\ket{-}=\frac{1}{\sqrt{{2}}(\ket{0}\ket{1}) $$
Vectores de base computacional
Cada estado cuántico siempre se puede expresar como sumas de vectores de base computacional y estas sumas se expresan fácilmente mediante la notación Dirac. Lo contrario también es cierto en el sentido de que los estados $\ket{+}$ y $\ket{-}$ también forman una base para los estados cuánticos. Esto se puede ver en el hecho de que
$$\ket{0}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+} + \ket{-}) $$
$$\ket{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+}\ket{-}) $$
Como ejemplo de notación de Dirac, consideremos el braket $\braket{0 | 1}$, que es el producto interior de $0$ y $1$. Se puede escribir como
$$\braket{0 | 1 1 }=\begin{bmatrix}& amp; 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0\\ 1\end{bmatrix}=0. $$
Este ejemplo indica que $\ket{{0}$ y $\ket{{1}$ son vectores ortogonales, lo que significa que $\braket{0 | 1}=\braket{1 | 0}=0$. También por definición, $\braket{0 | 0}=\braket{1 | 1}=1$, lo que significa que los dos vectores de base computacional también se pueden llamar ortonormales.
Estas propiedades ortonormales se usan en el ejemplo siguiente. Si se tiene el estado $\ket{\psi}={\frac{3}{5}}\ket{{1} + {\frac{{4}{5}}\ket{0}$, y puesto que $\braket{1 | 0}=0$, la probabilidad de medir $1$ es
$$\big|\braket{1 |\psi}\big|^2=\left|\frac{{3}{5}\braket{1 | 1} +\frac{{4}{5}\braket{1 | 0}\right|^2=\frac{{9}{{25}. $$
Notación del producto tensorial
La notación dirac es muy útil para expresar el producto tensor. El producto Tensor es importante en la computación cuántica porque el vector de estado descrito por dos registros cuánticos no relacionados es los productos tensor de los dos vectores de estado.
El $\psi\otimes\phi$ del producto tensor para dos vectores de estado cuántico $\phi$ y $\psi$ se escribe en notación Dirac como $\ket{\psi}\otimes\ket{\phi}$. Por convención, también puede escribir el producto tensor como $\ket{\psi}\ket{\phi}=\ket{\psi\phi}$.
Por ejemplo, el estado con dos cúbits inicializados en el estado cero es $\ket{{0}\otimes\ket{0}=\ket{0}\ket{0}=\ket{00}$.
Ejemplo: Descripción de la superposición con la notación de Dirac
Como otro ejemplo de cómo puede usar la notación Dirac para describir un estado cuántico, tenga en cuenta las siguientes formas equivalentes de escribir un estado cuántico que sea una superposición igual en cada cadena de bits de longitud $n posible.$
$$ H^{\otimes n}\ket{0}=\frac{1}{2^{n/2}}\sum_{j=0}^{2^n-1}\ket{j}=\ket{+}^{\otimes n}. $$
Aquí tal vez se pregunte por qué la suma va de $0$ a $2^{n}-1$ para $n$ bits. En primer lugar, observe que hay $2^{n}$ configuraciones diferentes que pueden tomar $n$ bits. Para verlo, recuerde que un bit puede tomar $2$ valores, pero dos bits pueden tomar $4$ valores, y así sucesivamente. En general, esto significa que hay $2^n$ cadenas de bits posibles diferentes, pero el mayor valor codificado en cualquiera de ellas es $1\cdots 1=2^n-1$ y, por lo tanto, es el límite superior de la suma. Como nota al margen, en este ejemplo no se ha utilizado $\ket{+}^{\otimes n}=\ket{+}$ como analogía de $\ket{{0}^{\otimes n}=\ket{{0}$. Esta convención notaria está reservada para el estado de base computacional con cada cúbit inicializado en cero. Aunque esta convención es razonable en este caso, no se emplea en la literatura de computación cuántica.
Expresión de la linealidad con la notación de Dirac
Otra característica de la notación de Dirac es que es lineal. Por ejemplo, para dos números complejos $\alpha$ y $\beta$, puede escribir:
$$\ket{\psi}\otimes ( \alpha\ket{\phi} + \beta\ket{\chi})=\alpha\ket{\psi}\ket{\phi} + \beta\ket{\psi}\ket{\chi}.$$
Es decir, la notación del producto tensorial se puede distribuir en notación de Dirac para que los productos tensoriales de vectores de estado terminen pareciendo una multiplicación normal.
Los vectores bra siguen una convención similar a la de los vectores ket. Por ejemplo, el vector $\bra{\psi}\bra{\phi}$ es equivalente al vector de estado $\psi^\dagger\otimes\phi^\dagger=(\psi\otimes\phi)^\dagger$. Si el vector ket $\ket{\psi}$ es $\alpha\ket{0} + \beta\ket{1}$, la versión del vector bra del ventor es $\bra{\psi}=\ket{\psi}^\dagger= (\bra{{0}\alpha^* +\bra{1}\beta^*)$.
Como ejemplo, imaginemos que desea calcular la probabilidad de medir el estado $\ket{\psi}=\frac{3}{5}\ket{{1} + \frac{4}{5}\ket{0}$ con un programa cuántico para medir que los estados sean $\ket{+}$ o $\ket{{-}$. La probabilidad de que el dispositivo diga que el estado es $\ket{-}$ es:
$$|\braket{- |\psi}|^2=\left|\frac{{1}{\sqrt{{2}}(\bra{0} - \bra{{1})(\frac{3}{5}\ket{{1} + \frac{{4}{5}\ket{0}) \right|^2=\left|-\frac{3}{5\sqrt{{2}} + \frac{{4}{5\sqrt{2}}\right|^2=\frac{{1}{{50}.$$
El hecho de que el signo negativo aparezca en el cálculo de la probabilidad es una manifestación de la interferencia cuántica, que es uno de los mecanismos que hace que la computación cuántica tenga ventajas sobre la clásica.
ketbra o producto exterior
El último elemento que vale la pena explicar en la notación de Dirac es ketbra o producto exterior. El producto exterior se representa en la notación de Dirac como $\ket{\psi}\bra{\phi}$. El producto exterior se define mediante la multiplicación de matrices como $\ket{\psi}\bra{\phi}=\psi\phi^\dagger$ para los vectores de estado cuántico $\psi$ y $\phi$. El ejemplo más sencillo, y posiblemente el más común de esta notación, es
$$\ket{0}\bra{{0}=\begin{bmatrix}1\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1& 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 0\\& 0\end{bmatrix}\qquad\ket{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}0\\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}0& 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 0 0\\& 1\end{bmatrix}. $$
Los ketbras suelen llamarse proyectores porque proyectan un estado cuántico sobre un valor fijo. Como estas operaciones no son unitarias (y ni siquiera conservan la norma de un vector), un equipo cuántico no puede aplicar un proyector de forma determinista. Sin embargo, los proyectores hacen un buen trabajo para describir efecto que la medida tiene sobre un estado cuántico. Por ejemplo, si mide un estado $\ket{\psi}$ para que sea $0$, la transformación resultante que experimenta el estado como resultado de la medida es:
$$\ket{\psi}\rightarrow \frac{(\ket{{0}\bra{{0})\ket{\psi}}{|\braket{0 |\psi}|}=\ket{{0},$$
como cabría esperar si mide el estado y lo encontró como $\ket{0}$. Repetimos que estos proyectores no pueden aplicarse a un estado en un equipo cuántico de forma determinista. En cambio, pueden aplicarse aleatoriamente con el resultado $\ket{0}$ que aparece con alguna probabilidad fija. La probabilidad de que dicha medida tenga éxito puede escribirse como el valor de la expectativa del proyector cuántico en el estado:
$$\bra{\psi} (\ket{0}\bra{0})\ket{\psi}=|\braket{\psi| 0}|^2, $$
lo que ilustra que los proyectores ofrecen una nueva forma de expresar el proceso de medida.
Si, en su lugar, considera que la medida del primer cúbit de un estado de varios cúbits es $1$, también podemos describir este proceso de forma cómoda mediante proyectores y la notación de Dirac:
$$P(\text{first qubit = 1})=\bra{\psi}\left(\ket{{1}\bra{{1}\otimes \mathbf{\mathbf{1}^{\otimes n-1}\right) . \ket{\psi} $$
Aquí, la matriz de identidades puede escribirse en notación de Dirac como:
$$\mathbb{I}=\ket{{0}\bra{0}+\ket{{1}\bra{1}=\begin{bmatrix}1& 0 0\\& amp; 1 \end{bmatrix}. $$
Si hay dos cúbits, el proyector se puede expandir como:
$$\ket{1}\bra{1}\otimes\mathbb{I}=\ket{{1}\bra{1}\otimes (\ket{0}\bra{0}+\ket{1}\bra{{1})=\ket{10}\bra{{10} + . \ket{{11}\bra{{11} $$
Puede ver que esto es coherente con la discusión sobre las probabilidades de medida de los estados de varios cúbits mediante la notación de vectores de columna:
$$ P(\text{primer cúbit = 1})=\psi^\dagger (e_{10}e_{10}^\dagger + e_{{11}e_{{11}^\dagger)\psi=|e_{{10}^\dagger\psi|^2 + |e_{11}^\dagger\psi|^2, $$
que coincide con la discusión sobre la medida de varios cúbits. Sin embargo, la generalización de este resultado al caso de varios cúbits es algo más sencilla de expresar utilizando la notación de Dirac que la notación de vectores de columna, y es totalmente equivalente al tratamiento anterior.
Operadores de densidad
Otro operador útil para expresar con la notación de Dirac es el operador de densidad, también conocido como operador de estado. Como el vector de estado cuántico, el operador de densidad describe el estado cuántico de un sistema. Aunque los vectores de estado cuántico solo pueden representar estados puros, los operadores de densidad también pueden representar estados mixtos.
En general, una matriz dada $\rho$ es un operador de densidad válido si se cumplen las siguientes condiciones:
- $\rho$ es una matriz de números complejos
- $\rho = \rho^{\dagger}$ (es decir, $\rho$ es hermitiano)
- Cada valor $propio p$ de $\rho$ no es negativo
- Todos los valores propios de $\rho$ suman 1
En conjunto, estas condiciones garantizan que$\rho$ puede considerarse como un conjunto. Un operador de densidad para un vector de estado cuántico $\ket{\psi}$ tiene la forma $\rho =\sum_i p_i \ket{\psi_i}\bra{\psi_i}$ es una descomposición de valores propios de $\rho$, entonces $\rho$ describe el conjunto $\rho ={\ket{\psi_i}\text{ con probabilidad } p_i }$.
Los estados cuánticos puros son aquellos que se caracterizan por un único vector ket o función de onda, y no pueden escribirse como una mezcla estadística (o combinación convexa) de otros estados cuánticos. Un estado cuántico mixto es un conjunto estadístico de estados puros.
En una esfera Bloch, los estados puros se representan mediante un punto en la superficie de la esfera, mientras que los estados mixtos se representan mediante un punto interior. El estado mixto de un solo cúbit se representa mediante el centro de la esfera, por simetría. La pureza de un estado se puede visualizar como el grado en el que está cerca de la superficie de la esfera.
Este concepto de representar el estado como una matriz, en lugar de un vector, suele ser conveniente porque proporciona una manera cómoda de representar cálculos de probabilidad, y también permite describir tanto la incertidumbre estadística como la incertidumbre cuántica dentro del mismo formalismo.
Un operador de densidad $\rho$ representa un estado puro si y solo si:
- $\rho$ puede escribirse como un producto externo de un vector de estado, $\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$
- $\rho =\rho^2$
- $tr(\rho^2)=1$
Para saber lo cerca que está un determinado operador de densidad $\rho$ es puro, se puede ver el seguimiento (es decir, la suma de los elementos diagonales) de $\rho^2$. Un operador de densidad representa un estado puro si y sólo si $tr(\rho ^{2})=1$.
Secuencias de puertas de Q# equivalentes a estados cuánticos
Un último punto que vale la pena plantear sobre la notación cuántica y el lenguaje de programación Q#: al principio de este documento, mencionamos que el estado cuántico es el objeto básico de información en la computación cuántica. Puede sorprender entonces que en Q# no exista la noción de estado cuántico. En cambio, todos los estados se describen únicamente por las operaciones utilizadas para prepararlos. El ejemplo anterior lo ilustra perfectamente. En lugar de expresar una superposición uniforme sobre cada cadena de bits cuánticos en un registro, puede representar el resultado como $H^{\otimes n}\ket{0}$. Esta descripción exponencialmente más corta del estado no solo tiene la ventaja de que puede razonar de forma clásica sobre él, sino que también define de forma concisa las operaciones necesarias para propagarse por la pila de software con el fin de implementar el algoritmo. Por esta razón, Q# está diseñado para emitir secuencias de puertas en lugar de estados cuánticos; sin embargo, a nivel teórico, las dos perspectivas son equivalentes.