Dirac-Notation und -Operatoren
In der vorherigen Einheit haben Sie gelernt, wie Sie die Überlagerung in einer Bloch-Kugel darstellen. Doch Quantencomputing erfordert Kenntnisse in linearer Algebra und Quantenmechanik. Wie können Sie Überlagerungs- und Quantenzustände auf eine Weise schreiben, die leicht verständlich ist und eine einfache Bearbeitung ermöglicht?
In dieser Lektion erfahren Sie mehr über eine praktische Notation zum Schreiben von quantenmechanischen Zuständen: die Dirac bra-ket-Notation.
Was ist die Dirac-Notation (Bra-Ket-Notation)?
Die Dirac bra-ket-Notation, oder kurz gesagt Dirac-Notation, ist eine Kurznotation, die das Schreiben von Quantenzuständen und das Berechnen von linearer Algebra erleichtert. In dieser Notation werden die möglichen Zustände des Quantensystems mithilfe von Symbolen namens Ketsbeschrieben, die wie folgt aussehen $| \rangle$.
Beispiel: Die Notationen $|0\rangle$ und $|1\rangle$ stellen die Quantenzustände 0 bzw. 1 dar.
Wenn ein Qubit den Zustand $|\psi\rangle = |0\rangle$ aufweist, bedeutet dies, dass die Wahrscheinlichkeit, beim Messen des Qubits 0 zu beobachten, 100 % beträgt. Wenn Sie ein Qubit im Zustand $|\psi\rangle =|1\rangle$ messen, erhalten Sie immer 1.
Ein Qubit in Superposition kann z. B. folgendermaßen geschrieben werden: $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$. Dieser Zustand ist eine Superposition der Zustände $|0\rangle$ und $|1\rangle$. Die Wahrscheinlichkeit der Messung von 0 ist $\frac12$, und die Wahrscheinlichkeit der Messung von 1 ist ebenfalls $\frac12$.
Was sind Quantenoperatoren?
Bei Quantencomputern geht es darum, Quantenzustände zu bearbeiten, um Berechnungen durchzuführen. Ein Quantenoperator ist eine Funktion, die auf einen Zustand eines Quantensystems reagiert und ihn in einen anderen Zustand transformiert. Beispiel: Sie können den Zustand $|0\rangle$ in den Zustand $|1\rangle$ transformieren, indem Sie den X-Operator anwenden.
$$X |0\rangle = |1\rangle$$
Der X-Operator wird auch als Pauli-X-Gatter bezeichnet. Es handelt sich um eine grundlegende Quantenoperation, die den Zustand eines Qubits wechselt. Es gibt drei Pauli-Gatter: X, Y und Z. Jedes Gatter oder jeder Operator hat eine bestimmte Auswirkung auf den Qubit-Zustand.
| Operator | Auswirkung auf $\ket{0}$ | Auswirkung auf $\ket{1}$ |
|---|---|---|
| X | $X \ket{0} = \ket{1}$ | $X\ket{1} = \ket{0}$ |
| Y | $Y\ket{0}=i\ket{1}$ | $Y\ket{1}=-i\ket{0}$ |
| Z | $Z\ket{0}=\ket{0}$ | $Z\ket{1}=-\ket{1}$ |
Hinweis
Manchmal können Sie den Begriff Quantengatter anstelle von Quantenoperationen lesen oder hören. Der Begriff Quantengatter ist eine Analogie zu klassischen Logikgattern. In den Anfängen des Quantencomputings wurden Quantenalgorithmen in Form von Diagrammen visualisiert, die den Schaltplänen aus dem klassischen Computing ähnelten.
Sie können einen Operator verwenden, um ein Qubit in Superposition zu setzen. Der Hadamard-Operator, H, setzt ein Qubit im Zustand $|0\rangle$ in Superposition der Zustände $|0\rangle$ und $|1\rangle$. Mathematisch ist diese Gleichung
$$ H |0\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle.$$
In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, jeden Zustand zu messen, $P(0)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$ und $P(1)=\left|\frac1{\sqrt{2}}\right|^2=\frac12$. Jeder Zustand wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % gemessen. Sie können auch Folgendes überprüfen: $\frac12 + \frac12 = 1$.
Was bedeutet es, eine Messung zu unternehmen?
In der Quantenmechanik gibt es zahlreiche Interpretationen des Konzepts der Messung. Die Details würden jedoch den Umfang dieses Artikels sprengen. Beim Quantencomputing müssen Sie sich darum keine Gedanken machen.
In diesem Modul bezieht sich der Begriff „Messung“ auf das informelle „Beobachten“ eines Qubits. Dabei wird die Quantensuperposition sofort auf einen von zwei Basiszuständen reduziert, die 0 und 1 entsprechen. Wenn Sie z. B. einen Qubit im Zustand $|\psi\rangle = \frac1{\sqrt2} |0\rangle + \frac1{\sqrt2} |1\rangle$ messen, bedeutet dies, dass Sie den Qubit zwingen, einen der beiden möglichen Zustände einzunehmen, und Sie beobachten entweder 0 oder 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
Wenn Sie mehr über Messungen im Kontext der Quantenmechanik und ihre historische Entwicklung erfahren möchten, lesen Sie den Wikipedia-Artikel zur quantenmechanischen Messung.