complex
-Klasse
Die Klassenvorlage beschreibt ein Objekt, das zwei Objekte vom Typ Type
speichert, eine, die den tatsächlichen Teil einer komplexen Zahl darstellt und eine, die den imaginären Teil darstellt.
Syntax
template <class Type>
class complex
Hinweise
Ein Objekt der Klasse Type
:
Es hat einen öffentlichen Standardkonstruktor, Destruktor, Kopierkonstruktor und Zuweisungsoperator mit üblichem Verhalten.
Ihm können ganzzahlige Werte oder Gleitkommawerte zugeordnet werden oder eine Typumwandlung zu diesen Werten mit üblichem Verhalten.
Es definiert nach Bedarf die arithmetischen Operatoren und mathematischen Funktionen, die für die Gleitkommatypen definiert sind (mit üblichem Verhalten).
Insbesondere dürfen keine feinen Unterschiede zwischen einer Kopierkonstruktion und einer Standardkonstruktion bestehen, auf die eine Zuweisung folgt. Keine der Vorgänge für Klassenobjekte Type
löst Ausnahmen aus.
Explizite Spezialisierungen der Klassenvorlage complex
sind für die drei Gleitkommatypen vorhanden. In dieser Implementierung ist ein Wert eines beliebigen anderen Typs Type
Typecast double
für tatsächliche Berechnungen, wobei das double
Ergebnis dem gespeicherten Objekt des Typs Type
zurück zugewiesen ist.
Member
Konstruktoren
Name | Beschreibung |
---|---|
complex |
Erstellt eine komplexe Zahl aus den angegebenen reellen und imaginären Teilen oder eine Kopie einer anderen komplexen Zahl. |
TypeDefs
Name | Beschreibung |
---|---|
value_type |
Ein Typ, der den Datentyp darstellt, der für die Darstellung der Real- und Imaginärteile einer komplexen Zahl verwendet wird |
Funktionen
Name | Beschreibung |
---|---|
imag |
Extrahiert die imaginäre Komponente einer komplexen Zahl. |
real |
Extrahiert die reelle Komponente einer komplexen Zahl. |
Operatoren
Name | Beschreibung |
---|---|
operator*= |
Multipliziert eine komplexe Zielzahl mit einem komplexen Faktor oder einem Faktor vom gleichen Typ wie die Real- und Imaginärteile der komplexen Zahl |
operator+= |
Fügt eine Zahl zu einer komplexen Zielzahl hinzu, wobei die hinzugefügte Zahl möglicherweise komplex oder vom gleichen Typ ist wie die tatsächlichen und imaginären Teile der komplexen Zahl, zu der sie hinzugefügt wird. |
operator-= |
Subtrahiert eine Zahl von einer komplexen Zielzahl, wobei die subtrahierte Zahl komplex oder vom gleichen Typ sein kann wie die tatsächlichen und imaginären Teile der komplexen Zahl, zu der sie hinzugefügt wird. |
operator/= |
Dividiert eine komplexe Zielzahl durch einen komplexen Faktor oder einen Faktor vom gleichen Typ wie die Real- und Imaginärteile der komplexen Zahl |
operator= |
Weist einer komplexen Zielnummer eine Zahl zu, bei der die zugewiesene Zahl komplex oder vom gleichen Typ sein kann wie die tatsächlichen und imaginären Teile der komplexen Zahl, der sie zugewiesen wird. |
complex
Erstellt eine komplexe Zahl aus den angegebenen reellen und imaginären Teilen oder eine Kopie einer anderen komplexen Zahl.
constexpr complex(
const T& _RealVal = 0,
const T& _ImagVal = 0);
template <class Other>
constexpr complex(
const complex<Other>& complexNum);
Parameter
_RealVal
Der Wert des reellen Teils, der zum Initialisieren der zu erstellenden komplexen Zahl verwendet wird.
_ImagVal
Der Wert des imaginären Teils, der zum Initialisieren der zu erstellenden komplexen Zahl verwendet wird.
complexNum
Die komplexe Zahl, deren reelle und imaginäre Teile zum Initialisieren der zu erstellenden komplexen Zahl verwendet werden.
Hinweise
Der erste Konstruktor initialisiert den gespeicherten realen Teil und _RealVal
den gespeicherten imaginären Teil in _Imagval
. Der zweite Konstruktor initialisiert den gespeicherten realen Teil und complexNum.real()
den gespeicherten imaginären Teil in complexNum.imag()
.
Unterstützt ein Übersetzer in dieser Implementierung keine Membervorlagenfunktionen, so lautet die Vorlage:
template <class Other>
complex(const complex<Other>& right);
durch Folgendes ersetzt:
complex(const complex& right);
Hierbei handelt es sich um den Kopierkonstruktor.
Beispiel
// complex_complex.cpp
// compile with: /EHsc
#include <complex>
#include <iostream>
int main( )
{
using namespace std;
double pi = 3.14159265359;
// The first constructor specifies real & imaginary parts
complex<double> c1( 4.0 , 5.0 );
cout << "Specifying initial real & imaginary parts,"
<< "c1 = " << c1 << endl;
// The second constructor initializes values of the real &
// imaginary parts using those of another complex number
complex<double> c2( c1 );
cout << "Initializing with the real and imaginary parts of c1,"
<< " c2 = " << c2 << endl;
// Complex numbers can be initialized in polar form
// but will be stored in Cartesian form
complex<double> c3( polar( sqrt( (double)8 ) , pi / 4 ) );
cout << "c3 = polar( sqrt( 8 ) , pi / 4 ) = " << c3 << endl;
// The modulus and argument of a complex number can be recovered
double absc3 = abs( c3 );
double argc3 = arg( c3 );
cout << "The modulus of c3 is recovered from c3 using: abs( c3 ) = "
<< absc3 << endl;
cout << "Argument of c3 is recovered from c3 using:\n arg( c3 ) = "
<< argc3 << " radians, which is " << argc3 * 180 / pi
<< " degrees." << endl;
}
imag
Extrahiert die imaginäre Komponente einer komplexen Zahl.
T imag() const;
T imag(const T& right);
Parameter
right
Eine komplexe Zahl, deren imaginärer Wert extrahiert werden soll.
Rückgabewert
Der imaginäre Teil der komplexen Zahl.
Hinweise
Für eine komplexe Zahl a + bi lautet der Imaginärteil bzw. die imaginäre Komponente Im(a + bi) = b.
Beispiel
// complex_imag.cpp
// compile with: /EHsc
#include <complex>
#include <iostream>
int main( )
{
using namespace std;
complex<double> c1( 4.0 , 3.0 );
cout << "The complex number c1 = " << c1 << endl;
double dr1 = c1.real();
cout << "The real part of c1 is c1.real() = "
<< dr1 << "." << endl;
double di1 = c1.imag();
cout << "The imaginary part of c1 is c1.imag() = "
<< di1 << "." << endl;
}
The complex number c1 = (4,3)
The real part of c1 is c1.real() = 4.
The imaginary part of c1 is c1.imag() = 3.
operator*=
Multipliziert eine komplexe Zielzahl mit einem komplexen Faktor oder einem Faktor vom gleichen Typ wie die Real- und Imaginärteile der komplexen Zahl
template <class Other>
complex& operator*=(const complex<Other>& right);
complex<Type>& operator*=(const Type& right);
complex<Type>& operator*=(const complex<Type>& right);
Parameter
right
Eine komplexe Zahl oder eine Zahl vom gleichen Typ wie der Parameter der komplexen Zielzahl
Rückgabewert
Eine komplexe Zahl, die mit der als Parameter angegebenen Zahl multipliziert wurde
Hinweise
Die Operation wird überladen, damit einfache arithmetische Operationen ohne Konvertierung der Daten in ein bestimmtes Format ausgeführt werden können.
Beispiel
// complex_op_me.cpp
// compile with: /EHsc
#include <complex>
#include <iostream>
int main()
{
using namespace std;
double pi = 3.14159265359;
// Example of the first member function
// type complex<double> multiplied by type complex<double>
complex<double> cl1( polar ( 3.0 , pi / 6 ) );
complex<double> cr1( polar ( 2.0 , pi / 3 ) );
cout << "The left-side complex number is cl1 = " << cl1 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr1 = " << cr1 << endl;
complex<double> cs1 = cl1 * cr1;
cout << "Quotient of two complex numbers is: cs1 = cl1 * cr1 = "
<< cs1 << endl;
// This is equivalent to the following operation
cl1 *= cr1;
cout << "Quotient of two complex numbers is also: cl1 *= cr1 = "
<< cl1 << endl;
double abscl1 = abs ( cl1 );
double argcl1 = arg ( cl1 );
cout << "The modulus of cl1 is: " << abscl1 << endl;
cout << "The argument of cl1 is: "<< argcl1 << " radians, which is "
<< argcl1 * 180 / pi << " degrees." << endl << endl;
// Example of the second member function
// type complex<double> multiplied by type double
complex<double> cl2 ( polar ( 3.0 , pi / 6 ) );
double cr2 = 5.0;
cout << "The left-side complex number is cl2 = " << cl2 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr2 = " << cr2 << endl;
complex<double> cs2 = cl2 * cr2;
cout << "Quotient of two complex numbers is: cs2 = cl2 * cr2 = "
<< cs2 << endl;
// This is equivalent to the following operation
cl2 *= cr2;
cout << "Quotient of two complex numbers is also: cl2 *= cr2 = "
<< cl2 << endl;
double abscl2 = abs ( cl2 );
double argcl2 = arg ( cl2 );
cout << "The modulus of cl2 is: " << abscl2 << endl;
cout << "The argument of cl2 is: "<< argcl2 << " radians, which is "
<< argcl2 * 180 / pi << " degrees." << endl;
}
operator+=
Fügt eine Zahl zu einer komplexen Zielzahl hinzu, wobei die hinzugefügte Zahl möglicherweise komplex oder vom gleichen Typ ist wie die tatsächlichen und imaginären Teile der komplexen Zahl, zu der sie hinzugefügt wird.
template <class Other>
complex<Type>& operator+=(const complex<Other>& right);
complex<Type>& operator+=(const Type& right);
complex<Type>& operator+=(const complex<Type>& right);
Parameter
right
Eine komplexe Zahl oder eine Zahl vom gleichen Typ wie der Parameter der komplexen Zielzahl
Rückgabewert
Eine komplexe Zahl, der die als Parameter angegebene Zahl hinzugefügt wurde
Hinweise
Die Operation wird überladen, damit einfache arithmetische Operationen ohne Konvertierung der Daten in ein bestimmtes Format ausgeführt werden können.
Beispiel
// complex_op_pe.cpp
// compile with: /EHsc
#include <complex>
#include <iostream>
int main( )
{
using namespace std;
double pi = 3.14159265359;
// Example of the first member function
// type complex<double> added to type complex<double>
complex<double> cl1( 3.0 , 4.0 );
complex<double> cr1( 2.0 , -1.0 );
cout << "The left-side complex number is cl1 = " << cl1 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr1 = " << cr1 << endl;
complex<double> cs1 = cl1 + cr1;
cout << "The sum of the two complex numbers is: cs1 = cl1 + cr1 = "
<< cs1 << endl;
// This is equivalent to the following operation
cl1 += cr1;
cout << "The complex number cr1 added to the complex number cl1 is:"
<< "\n cl1 += cr1 = " << cl1 << endl;
double abscl1 = abs( cl1 );
double argcl1 = arg( cl1 );
cout << "The modulus of cl1 is: " << abscl1 << endl;
cout << "The argument of cl1 is: "<< argcl1 << " radians, which is "
<< argcl1 * 180 / pi << " degrees." << endl << endl;
// Example of the second member function
// type double added to type complex<double>
complex<double> cl2( -2 , 4 );
double cr2 =5.0;
cout << "The left-side complex number is cl2 = " << cl2 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr2 = " << cr2 << endl;
complex<double> cs2 = cl2 + cr2;
cout << "The sum of the two complex numbers is: cs2 = cl2 + cr2 = "
<< cs2 << endl;
// This is equivalent to the following operation
cl2 += cr2;
cout << "The complex number cr2 added to the complex number cl2 is:"
<< "\n cl2 += cr2 = " << cl2 << endl;
double abscl2 = abs( cl2 );
double argcl2 = arg( cl2 );
cout << "The modulus of cl2 is: " << abscl2 << endl;
cout << "The argument of cl2 is: "<< argcl2 << " radians, which is "
<< argcl2 * 180 / pi << " degrees." << endl << endl;
}
The left-side complex number is cl1 = (3,4)
The right-side complex number is cr1 = (2,-1)
The sum of the two complex numbers is: cs1 = cl1 + cr1 = (5,3)
The complex number cr1 added to the complex number cl1 is:
cl1 += cr1 = (5,3)
The modulus of cl1 is: 5.83095
The argument of cl1 is: 0.54042 radians, which is 30.9638 degrees.
The left-side complex number is cl2 = (-2,4)
The right-side complex number is cr2 = 5
The sum of the two complex numbers is: cs2 = cl2 + cr2 = (3,4)
The complex number cr2 added to the complex number cl2 is:
cl2 += cr2 = (3,4)
The modulus of cl2 is: 5
The argument of cl2 is: 0.927295 radians, which is 53.1301 degrees.
operator-=
Subtrahiert eine Zahl von einer komplexen Zielzahl, wobei die subtrahierte Zahl komplex oder vom gleichen Typ sein kann wie die tatsächlichen und imaginären Teile der komplexen Zahl, zu der sie hinzugefügt wird.
template <class Other>
complex<Type>& operator-=(const complex<Other>& complexNum);
complex<Type>& operator-=(const Type& _RealPart);
complex<Type>& operator-=(const complex<Type>& complexNum);
Parameter
complexNum
Eine komplexe Zahl, die von der komplexen Zielzahl subtrahiert werden soll
_RealPart
Eine reelle Zahl, die von der komplexen Zielzahl subtrahiert werden soll
Rückgabewert
Eine komplexe Zahl, von der die als Parameter angegebene Zahl subtrahiert wurde
Hinweise
Die Operation wird überladen, damit einfache arithmetische Operationen ohne Konvertierung der Daten in ein bestimmtes Format ausgeführt werden können.
Beispiel
// complex_op_se.cpp
// compile with: /EHsc
#include <complex>
#include <iostream>
int main( )
{
using namespace std;
double pi = 3.14159265359;
// Example of the first member function
// type complex<double> subtracted from type complex<double>
complex<double> cl1( 3.0 , 4.0 );
complex<double> cr1( 2.0 , -1.0 );
cout << "The left-side complex number is cl1 = " << cl1 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr1 = " << cr1 << endl;
complex<double> cs1 = cl1 - cr1;
cout << "The difference between the two complex numbers is:"
<< "\n cs1 = cl1 - cr1 = " << cs1 << endl;
// This is equivalent to the following operation
cl1 -= cr1;
cout << "Complex number cr1 subtracted from complex number cl1 is:"
<< "\n cl1 -= cr1 = " << cl1 << endl;
double abscl1 = abs( cl1 );
double argcl1 = arg( cl1 );
cout << "The modulus of cl1 is: " << abscl1 << endl;
cout << "The argument of cl1 is: "<< argcl1 << " radians, which is "
<< argcl1 * 180 / pi << " degrees." << endl << endl;
// Example of the second member function
// type double subtracted from type complex<double>
complex<double> cl2( 2.0 , 4.0 );
double cr2 = 5.0;
cout << "The left-side complex number is cl2 = " << cl2 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr2 = " << cr2 << endl;
complex<double> cs2 = cl2 - cr2;
cout << "The difference between the two complex numbers is:"
<< "\n cs2 = cl2 - cr2 = " << cs2 << endl;
// This is equivalent to the following operation
cl2 -= cr2;
cout << "Complex number cr2 subtracted from complex number cl2 is:"
<< "\n cl2 -= cr2 = " << cl2 << endl;
double abscl2 = abs( cl2 );
double argcl2 = arg( cl2 );
cout << "The modulus of cl2 is: " << abscl2 << endl;
cout << "The argument of cl2 is: "<< argcl2 << " radians, which is "
<< argcl2 * 180 / pi << " degrees." << endl << endl;
}
The left-side complex number is cl1 = (3,4)
The right-side complex number is cr1 = (2,-1)
The difference between the two complex numbers is:
cs1 = cl1 - cr1 = (1,5)
Complex number cr1 subtracted from complex number cl1 is:
cl1 -= cr1 = (1,5)
The modulus of cl1 is: 5.09902
The argument of cl1 is: 1.3734 radians, which is 78.6901 degrees.
The left-side complex number is cl2 = (2,4)
The right-side complex number is cr2 = 5
The difference between the two complex numbers is:
cs2 = cl2 - cr2 = (-3,4)
Complex number cr2 subtracted from complex number cl2 is:
cl2 -= cr2 = (-3,4)
The modulus of cl2 is: 5
The argument of cl2 is: 2.2143 radians, which is 126.87 degrees.
operator/=
Dividiert eine komplexe Zielzahl durch einen komplexen Faktor oder einen Faktor vom gleichen Typ wie die Real- und Imaginärteile der komplexen Zahl
template <class Other>
complex<Type>& operator/=(const complex<Other>& complexNum);
complex<Type>& operator/=(const Type& _RealPart);
complex<Type>& operator/=(const complex<Type>& complexNum);
Parameter
complexNum
Eine komplexe Zahl, die von der komplexen Zielzahl subtrahiert werden soll
_RealPart
Eine reelle Zahl, die von der komplexen Zielzahl subtrahiert werden soll
Rückgabewert
Eine komplexe Zahl, die durch die als Parameter angegebene Zahl dividiert wurde
Hinweise
Die Operation wird überladen, damit einfache arithmetische Operationen ohne Konvertierung der Daten in ein bestimmtes Format ausgeführt werden können.
Beispiel
// complex_op_de.cpp
// compile with: /EHsc
#include <complex>
#include <iostream>
int main( )
{
using namespace std;
double pi = 3.14159265359;
// Example of the first member function
// type complex<double> divided by type complex<double>
complex<double> cl1( polar (3.0 , pi / 6 ) );
complex<double> cr1( polar (2.0 , pi / 3 ) );
cout << "The left-side complex number is cl1 = " << cl1 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr1 = " << cr1 << endl;
complex<double> cs1 = cl1 / cr1;
cout << "The quotient of the two complex numbers is: cs1 = cl1 /cr1 = "
<< cs1 << endl;
// This is equivalent to the following operation
cl1 /= cr1;
cout << "Quotient of two complex numbers is also: cl1 /= cr1 = "
<< cl1 << endl;
double abscl1 = abs( cl1 );
double argcl1 = arg( cl1 );
cout << "The modulus of cl1 is: " << abscl1 << endl;
cout << "The argument of cl1 is: "<< argcl1 << " radians, which is "
<< argcl1 * 180 / pi << " degrees." << endl << endl;
// Example of the second member function
// type complex<double> divided by type double
complex<double> cl2( polar(3.0 , pi / 6 ) );
double cr2 =5;
cout << "The left-side complex number is cl2 = " << cl2 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr2 = " << cr2 << endl;
complex<double> cs2 = cl2 / cr2;
cout << "The quotient of the two complex numbers is: cs2 /= cl2 cr2 = "
<< cs2 << endl;
// This is equivalent to the following operation
cl2 /= cr2;
cout << "Quotient of two complex numbers is also: cl2 = /cr2 = "
<< cl2 << endl;
double abscl2 = abs( cl2 );
double argcl2 = arg( cl2 );
cout << "The modulus of cl2 is: " << abscl2 << endl;
cout << "The argument of cl2 is: "<< argcl2 << " radians, which is "
<< argcl2 * 180 / pi << " degrees." << endl << endl;
}
The left-side complex number is cl1 = (2.59808,1.5)
The right-side complex number is cr1 = (1,1.73205)
The quotient of the two complex numbers is: cs1 = cl1 /cr1 = (1.29904,-0.75)
Quotient of two complex numbers is also: cl1 /= cr1 = (1.29904,-0.75)
The modulus of cl1 is: 1.5
The argument of cl1 is: -0.523599 radians, which is -30 degrees.
The left-side complex number is cl2 = (2.59808,1.5)
The right-side complex number is cr2 = 5
The quotient of the two complex numbers is: cs2 /= cl2 cr2 = (0.519615,0.3)
Quotient of two complex numbers is also: cl2 = /cr2 = (0.519615,0.3)
The modulus of cl2 is: 0.6
The argument of cl2 is: 0.523599 radians, which is 30 degrees.
operator=
Weist einer komplexen Zielnummer eine Zahl zu, bei der die zugewiesene Zahl komplex oder vom gleichen Typ sein kann wie die tatsächlichen und imaginären Teile der komplexen Zahl, der sie zugewiesen wird.
template <class Other>
complex<Type>& operator=(const complex<Other>& right);
complex<Type>& operator=(const Type& right);
Parameter
right
Eine komplexe Zahl oder eine Zahl vom gleichen Typ wie der Parameter der komplexen Zielzahl
Rückgabewert
Eine komplexe Zahl, der die als Parameter angegebene Zahl zugewiesen wurde
Hinweise
Die Operation wird überladen, damit einfache arithmetische Operationen ohne Konvertierung der Daten in ein bestimmtes Format ausgeführt werden können.
Beispiel
// complex_op_as.cpp
// compile with: /EHsc
#include <complex>
#include <iostream>
int main( )
{
using namespace std;
double pi = 3.14159265359;
// Example of the first member function
// type complex<double> assigned to type complex<double>
complex<double> cl1( 3.0 , 4.0 );
complex<double> cr1( 2.0 , -1.0 );
cout << "The left-side complex number is cl1 = " << cl1 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr1 = " << cr1 << endl;
cl1 = cr1;
cout << "The complex number cr1 assigned to the complex number cl1 is:"
<< "\ncl1 = cr1 = " << cl1 << endl;
// Example of the second member function
// type double assigned to type complex<double>
complex<double> cl2( -2 , 4 );
double cr2 =5.0;
cout << "The left-side complex number is cl2 = " << cl2 << endl;
cout << "The right-side complex number is cr2 = " << cr2 << endl;
cl2 = cr2;
cout << "The complex number cr2 assigned to the complex number cl2 is:"
<< "\ncl2 = cr2 = " << cl2 << endl;
cl2 = complex<double>(3.0, 4.0);
cout << "The complex number (3, 4) assigned to the complex number cl2 is:"
<< "\ncl2 = " << cl2 << endl;
}
The left-side complex number is cl1 = (3,4)
The right-side complex number is cr1 = (2,-1)
The complex number cr1 assigned to the complex number cl1 is:
cl1 = cr1 = (2,-1)
The left-side complex number is cl2 = (-2,4)
The right-side complex number is cr2 = 5
The complex number cr2 assigned to the complex number cl2 is:
cl2 = cr2 = (5,0)
The complex number (3, 4) assigned to the complex number cl2 is:
cl2 = (3,4)
real
Dient zum Abrufen oder Festlegen der real
Komponente einer komplexen Zahl.
constexpr T real() const;
T real(const T& right);
Parameter
right
Eine komplexe Zahl, deren real
Wert extrahiert werden soll.
Rückgabewert
Der real
Teil der komplexen Zahl.
Hinweise
Bei einer komplexen Zahl a + bi lautet der Teil oder die real
Komponente Re(a + bi) = a.
Beispiel
// complex_class_real.cpp
// compile with: /EHsc
#include <complex>
#include <iostream>
int main( )
{
using namespace std;
complex<double> c1( 4.0 , 3.0 );
cout << "The complex number c1 = " << c1 << endl;
double dr1 = c1.real();
cout << "The real part of c1 is c1.real() = "
<< dr1 << "." << endl;
double di1 = c1.imag();
cout << "The imaginary part of c1 is c1.imag() = "
<< di1 << "." << endl;
}
The complex number c1 = (4,3)
The real part of c1 is c1.real() = 4.
The imaginary part of c1 is c1.imag() = 3.
value_type
Ein Typ, der den Datentyp darstellt, der für die Darstellung der Real- und Imaginärteile einer komplexen Zahl verwendet wird
typedef Type value_type;
Hinweise
value_type
ist ein Synonym für den Parameter für komplexe Type
Klassenvorlagen.
Beispiel
// complex_valuetype.cpp
// compile with: /EHsc
#include <complex>
#include <iostream>
int main( )
{
using namespace std;
complex<double>::value_type a = 3, b = 4;
complex<double> c1 ( a , b );
cout << "Specifying initial real & imaginary parts"
<< "\nof type value_type: "
<< "c1 = " << c1 << "." << endl;
}
Specifying initial real & imaginary parts
of type value_type: c1 = (3,4).