Vektory a matice v kvantových výpočtech
Některé znalosti lineární algebry jsou nezbytné k pochopení kvantových výpočtů. Tento článek představuje základní koncepty lineární algebry a způsob práce s vektory a maticemi v kvantových výpočtech.
Vektory
Vektor sloupce neboli vektor krátkého $rozměru$ (nebo velikosti) $n$ je kolekce n$ komplexních $čísel $(v_1,v_2,\ldots,v_n)$ uspořádaných jako sloupec:
$$v=\begin{bmatrix}\\ v_1 v_2\\ \vdots\\ v_n\end{bmatrix}$$
Norma vektoru v je definována jako $\sqrt{\sum_i v_i||^2}$.$ $ Vektor se nazývá jednotkový vektor , pokud je $jeho normou 1$.
Spojovník vektoru sloupce v$ je vektor $řádku označený jako $v^\dagger$ a je definován jako konjugovaná transponace v$$. V případě vektoru $sloupce v$ dimenze $n$ je přídavný vektor řádku dimenze $1 \times n$:
$$\begin{bmatrix}\\ v_1 \vdots \\ v_n \end{bmatrix}^\dagger=\begin{bmatrix}v_1^* & \cdots&zesilovač; v_n^*\end{bmatrix}$$
kde $v_i^*$ označuje komplexní konjugování $v_i$.
Pomocí lineární algebry se stav qubitu a + b \ket{1}$ popisuje jako vektor kvantového stavu$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$, kde $||a^2 + |b|^2 = 1.$\ket{0} $\psi= Další informace najdete v tématu Qubit.
Skalární produkt
Dva vektory lze vynásobit skalárním produktem, označovaným také jako tečkovaný součin nebo vnitřní součin. Jak název napovídá, výsledkem skalárního součinu dvou vektorů je skalární. Skalární součin poskytuje projekci jednoho vektoru na druhý a slouží k vyjádření jednoho vektoru jako součtu jiných jednodušších vektorů. Skalární součin mezi dvěma vektory $sloupců u$ a $v$ je označen jako $\left\langle u, v\right\rangle= u^\dagger v $ a je definován jako
$$\left\langleu, v\right\rangle= u^\dagger v=\begin{bmatrix}u_1^* & \cdots&zesilovač; u_n^* \end{bmatrix}v_1 \vdots\\ v_n= \end{bmatrix}u_1^* v_1 + \cdots + u_n^* v_n.\\\begin{bmatrix} $$
S skalárním součinem lze normu vektoru $v$ zapsat jako $\sqrt{\langle v, v\rangle}$.
Vektor můžete vynásobit číslem $a$ vytvořit nový vektor, jehož položky jsou vynásobeny číslem$$. Můžete také přidat dva vektory u a v a vytvořit nový vektor, jehož položky jsou součtem položek $u$ a $v$.$ $$ $ Tyto operace jsou následující:
$$\mathrm{Pokud u u_1 u_2 \vdots\\ u_n \end{bmatrix}~\mathrm{a}~ v =\begin{bmatrix} v_1 v_2\\\\ \vdots\\ v_n,pak}~ \end{bmatrix}~\mathrm{au+bv =\begin{bmatrix} au_1+bv_1+au_2\\+bv_2\\ \vdots\\ au_n+bv_n\\\\ =\begin{bmatrix}}~\end{bmatrix}$$
Matice
Matice m \times $n$ je kolekce komplexních $čísel m\cdot n$ uspořádaných v $řádcích m$ a $n$ sloupcích, jak je znázorněno níže:
$M =\begin{bmatrix} M_{~~{11} M_{12}\cdots~~~~ M_{1n}\\ M_~~{{21} M_\cdots{22}~~{~~ M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1}~~ M_{m2~~\cdots}~~ M_{mn}\\\end{bmatrix}$
Poznámka:
Všimněte si, že vektor dimenze $n$ je jednoduše matice velikosti $n \times 1$.
Kvantové operace jsou reprezentovány kvadraickými maticemi, tj. počtem řádků a sloupců, které jsou stejné. Například operace s jedním qubitem $jsou reprezentovány 2 \times matici$ , jako je například operace Pauli $X$ .
$$X =\begin{bmatrix} 0 & 1 1 \\ & 0 \end{bmatrix}$$
Tip
V Q#, Pauli $X$ operace je reprezentována X operací.
Stejně jako u vektorů můžete matici vynásobit číslem $c$ , abyste získali novou matici, ve které je každá položka vynásobená znakem $c$, a dvě matice stejné velikosti lze přidat k vytvoření nové matice, jejíž položky jsou součtem příslušných položek dvou matic.
Násobení matic
Můžete také vynásobit matici $M$ dimenze $m\times n$ a matici $N$ dimenze $n \times p$ , abyste získali novou matici $P$ dimenze $m \times p$ následujícím způsobem:
$$\begin{\begin{align}&zesilovač;\begin{bmatrix} {~~{11}M_ M_~~~~{12}\cdots M_{1n}\\~~{21}{ M_ M_~~\cdots{22}~~{ M_{2n}\\\ddots\\ M_{m1}~~ M_ M_{m2~~\cdots~~}{ M_mn\begin{bmatrix}}\end{bmatrix} N_{12}~~{{11}~~\cdots~~ N_ N_{1p{{21}~~}\\ N_ N_~~\cdots~~{22} N_{2p\ddots\\}\\ N_{n1~~} N_{n2~~}\cdots~~ N_{np\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}} P_ P_{{11}~~ {12}~~\cdots~~ {P_1p}\\ P_~~{{21} P_\cdots{22}~~{~~ P_{2p}\\\ddots\\ P_{m1}~~ P_{m2~~\cdots}~~ P_mp{}\end{bmatrix}\end{align}$$
kde jsou položky $P$ P_{ik=}\sum_j M_{ij}N_{jk.}$$ Například vstupní $P_{11}$ je skalární součin prvního řádku $M$ s prvním sloupcem $N$. Všimněte si, že vzhledem k tomu, že vektor je jednoduše zvláštním případem matice, tato definice se vztahuje na násobení vektorů matice.
Speciální typy matic
Jedna speciální čtvercová matice je matice identit, označená\mathbb{I}$$\mathbb{ , která má všechny jeho diagonální prvky rovnající $se 1$ a zbývající prvky se rovnají $0$:
$\mathbb{\mathbb{I}=\begin{bmatrix}1 ~~ 0\cdots~~ ~~0\\ 0 ~~ 1~~ ~~\cdots0\ddots\\\\~~ 0 ~~ 0\cdots~~~~ 1 .\end{bmatrix}$
Pro čtvercovou matici $A je matice $B$ její inverzní, pokud $AB = BA =\mathbb{\mathbb{I}$.$ Pokud má matice $A$ inverzní funkci, je inverzní matice jedinečná a zapíše se jako $A^{-1}$.
Pro každou matici $M je adjoint nebo konjugovaná transponace jazyka $M$ matice $N$, která $N_ij=} M_{{ji}^*$.$ Adjoint M $$ je označen M$^\dagger$.
Matice U je jednotná, pokud $UU^\dagger= U^ U^\dagger U =\mathbb{I}$ nebo ekvivalentní, $U^={{-1} U^.\dagger$$ $ Jednou z důležitých vlastností jednotkových matic je, že zachovávají normu vektoru. K tomu dochází, protože
$\langlev,v^ v v^\dagger U{-1} v v^ U v=^\dagger\dagger U v =\langle U v, U v\rangle.=\dagger \rangle=$
Poznámka:
Kvantové operace jsou reprezentovány jednotkovými maticemi, což jsou kvadraické matice, jejichž přídvoj se rovná jejich inverzní funkci.
Matice $M se nazývá Hermitian, pokud $M=^\dagger$.$
V kvantových výpočtech existují v podstatě jen dvě matice, se kterými se setkáte: Hermitian a unitární.
Produkt Tensor
Další důležitou operací je tenzorový produkt, označovaný také jako maticový přímý produkt nebo kroneckerový produkt.
Vezměte v úvahu dva vektory $v=\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}$ a $u =\begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix}$. Jejich tensorový produkt je označen jako $v \otimes u$ a vede k blokové matici.
$$\begin{bmatrix}a \\ b \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d a \begin{bmatrix}\begin{bmatrix} \end{bmatrix}=c \\ d d\\\end{bmatrix} [1.5em] b \begin{bmatrix} c d \\ a \end{bmatrix}\begin{bmatrix}=\end{bmatrix}c d \\ \\ b b d \\\end{bmatrix}$$
Poznámka:
Všimněte si, že tenzorový součin je odlišen od násobení matice, což je zcela jiná operace.
Tenzorový produkt se používá k reprezentaci kombinovaného stavu více qubitů. Skutečný výkon kvantového computingu pochází z využití více qubitů k provádění výpočtů. Další informace najdete v tématu Operace s více qubity.
Tenzorový součin dvou čtvercových $matic M$ a $N$ velikosti $n\times$ je větší matice $P=M\otimes N$ velikosti $n^2 \times n^2$. Příklad:
$$\begin{bmatrix}a\ b \\ c\ d \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h h \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a\begin{bmatrix} e\ f g\\\ h \end{bmatrix} b e\begin{bmatrix}\ f\\ g\ h \end{bmatrix}\\[1em] c\begin{bmatrix} e\ f\\ g\ h \end{bmatrix} d e\begin{bmatrix}\ f\\ g\ h \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\end{bmatrix}=ae\ af\ be\ bf \\ ag\ ah\ bg\ bh \\ ce\ cf\ de\ df \\ cg\ ch\ dg\ dh .\end{bmatrix} $$
Eigenvalues and eigenvectors
Představte si čtvercovou matici $M$ a vektor $v$. Vektor $v$ je eigenvector $ M$, pokud $Mv = cv$ pro některé číslo $c.$ Celé číslo c je hodnota eigenvalue odpovídající eigenvectoru $v$.$ $
Matice M$ může obecně $transformovat vektor na jakýkoli jiný vektor. Eigenvector je speciální, protože se nemění s výjimkou vynásobení číslem. Pokud $v$ je eigenvector s eigenvalue $c$, pak $av$ je také eigenvector (pro jakékoli nenulové $a$) se stejnou hodnotou eigenvalue. Například pro matici identity je každý vektor $v$ eigenvector s hodnotou eigenvalue $1$.
Jako další příklad zvažte diagonální matici$D$, která má pouze nenulové položky na diagonále:
$$\begin{bmatrix}&d_1 amp; 0 &a 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ a 0 && d_3 \end{bmatrix}. $$
Vektory
$$\begin{bmatrix}1 \\ 0 0 \end{bmatrix}\\ , \begin{bmatrix}0 \\ 1 \\ 0\text{\end{bmatrix}a\begin{bmatrix}}0 \\ 0 1 \\\end{bmatrix}$$
jsou eigenvectory této matice s eigenvalues $d_1$, $d_2$ a $d_3$. Pokud $d_1$, $d_2$ a $d_3$ jsou jedinečná čísla, jsou tyto vektory (a jejich násobky) jedinými genvectory matice $D$.
Obecně platí, že pro diagonální matici je snadné číst eigenvalues a eigenvectory. Eigenvalues jsou všechna čísla zobrazená na diagonále a jejich příslušné vektory jsou vektory jednotek s jednou položkou, která se rovná $1$ a zbývající položky se rovnají $0$.
Všimněte si v příkladu, že eigenvectory $D$ tvoří základ pro $3rozměrné$ vektory. Základem je sada vektorů tak, aby každý vektor mohl být napsán jako lineární kombinace. Explicitněji $, v_1$, $v_2$ a $v_3$ tvoří základ, pokud lze jakýkoli vektor $v$ napsat jako $v=a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3$ pro některá čísla $a_1$, $a_2$ a $a_3$.